6.3. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

6.3.1. Вероятностные свойства оценок, соответствующих выборочному спектру, для случая белого шума

Введение. Табл. 6.1 наводит на мысль о том, что оценка, соответствующая выборочному спектру,

для чисто случайного процесса (дискретного белого, шума) имеет дисперсию, не зависящую от числа наблюдений . С другой стороны, среднее значение выборочного спектра по частоте близко к теоретическому значению спектра. Это указывает на то, что оценка, соответствующая спектру, не является состоятельной, т. е. ее распределение не стягивается к истинному значению спектра при увеличении объема выборки.

Чтобы убедиться, что это действительно так, рассмотрим случайные величины, соответствующие действительной и мнимой составляющим Фурье дискретного процесса Они задаются равенствами

В таком случае оценку (6.3.1) можно записать в виде

Исследовав свойства случайных величин можно вывести и вероятностные свойства . В этом разделе будет показано, что если — чисто случайный нормальный процесс с нулевым

средним значением и дисперсией то для гармонических частот, (частот кратных основной гармонике) справедливы следующие утверждения:

1) случайные величины

имеют -распределение с двумя степенями свободы;

2) Если или то случайные величины

имеют -распределение с одной степенью свободы;

3) случайные величины взаимно независимы для

Этими результатами мы воспользуемся в разд. 6.3.2 при выводе критерия для проверки гипотезы о том, что шум является бельщ. В разд. 6.3.3 дается краткое изложение более общих результатов, относящихся к вероятностным свойствам оценок, соответствующих выборочным спектрам. Эти результаты получены для произвольных частот и для процессов, не являющихся белым гауссовским шумом. Доказательства приведены в приложении

«хи-квадрат»-свойство оценки, соответствующей выборочному спектру. Так как то из (6.3.2) следует, что

Отсюда для гармоник получаем

Аналогично находим

Далее при имеем

Кроме того, для любых справедливо равенство

Так как являются линейными комбинациями гауссовских величин, то они также имеют гауссовское распределение. Поэтому каждая из случайных величин

имеет одной степенью свободы. Из (6.3.8) и (6.3.9) видно, что эти величины независимы, поскольку имеют нормальное распределение. Поэтому их сумма

имеет -распределение с двумя степенями свободы.

При или величина тождественно равна нулю. Следовательно, случайная величина

имеет -распределение с одной степенью свободы. Из равенств (6.3.8) и (6.3.9) следует, что случайные величины для различных частот независимы, так как они получаются из независимых гауссовских величин Таким образом, утверждения (1), (2) и (3) доказаны.

Пользуясь этими результатами, можно объяснить флуктуирующее поведение выборочного спектра на рис. 6.1. В разд. 6.2.3 было показано, что спектр чисто случайного процесса равен константе

Используя (3.3.6) и только что доказанные утверждения, получаем

т. е.

Следовательно, для гармонических частот оценка, соответствующая выборочному спектру, является несмещенной в случае, если шум белый. Это объясняет близость средних значений в табл. 6.1 к их теоретическим значениям.

Аналогично, используя (3.3.6), получаем

т. е.

Равенства (6.3.10) показывают, что по крайней мере для гармонических частот дисперсия этой оценки равна константе, независящей от объема выборки. Это объясняет тот факт, что выборочные оценки дисперсии случайной величины не уменьшаются с увеличением объема выборки, как видно из табл. 6.1. Важно отметить, что даже для негауссовского процесса случайные величины будут приближенно гауссовскими в силу центральной предельной теоремы. Поэтому величина будет иметь распределение, близкое к -распределению с двумя степенями свободы, независимо от того, какое распределение у процесса

Дисперсионный анализ. Важность полученных выше результатов легче оценить, если рассмотреть разложение полной суммы квадратов случайных величин По теореме Парсеваля (6.1.3) имеем

Используя то, что получаем

Так как — независимые нормальные величины с нулевыми средними значениями и единичными стандартными отклонениями, то стоящая в левой части равенства (6.3.11) случайная величина имеет -распределение с степенями свободы. Доказанные выше утверждения показывают в таком случае, что эта величина представляется в виде суммы двух -величин с одной степенью свободы или величин с Двумя степенями свободы. Таким образом, полное число степеней свободы раскладывается на следующие слагаемые:

Для нечетных член с одной степенью свободы, соответствующий исчезает из (6.3.11). Это разложение представляет собой частный случай метода, называемого в статистике дисперсионным

анализом. Если , то проведенный выше анализ справедлив, но разложение (6.3.11) в этом случае удобнее записывать в виде

где - среднее арифметическое значение случайных величин