6.1.2. Выборочный спектр белого шума

Чтобы проиллюстрировать результат применения анализа Фурье к случайному процессу, был взят ряд из 400 случайных нормальных чисел (гауссовский белый шум). Выборочный спектр вычислялся для четырех рядов, состоящих из первых 50, 100, 200 и 400 членов соответственно. На рис. 6.1 приведены значения выборочных спектров сосчитанные по формуле (6.1.7), на частотах гц для случаев при сек. На рисунке изображен также теоретический спектр, который, как показано в разд. 6.2.3, равен константе в интервале —7г

Как видно из рис. 6.1, функции сильно колеблются, и на основании этих графиков трудно предположить, что истинный спектр равен константе, т. е. что временной ряд является белым шумом. Отметим также, что отклонения от истинного спектра для такие же, как и для что указывает на отсутствие статистической сходимости какого-либо типа.

В табл. 6.1 представлены характеристики, полученные из выборочных спектров, сосчитанных по 50, 100, 200 и 400 членам. Поскольку теоретический спектр равен константе, флуктуации можно охарактеризовать, сосчитав среднее значение, дисперсию и среднеквадратичную ошибку величин при изменении частоты. Видно, что для каждого из рядов среднее значение близко к единице— теоретическому спектру. Следовательно, значения группируются около некоторой центральной величины. Однако, как видно из табл. 6.1, дисперсии не уменьшаются с ростом что говорит о том, что выборочные оценки спектра, сосчитанные по 100, 200 или 400 членам, не лучше оценки, сосчитанной по 50 членам.

Таблица 6.1. Поведение выборочных спектров белого шума по мере возрастания длины записи

В гл. 4 мы видели, что хорошие оценки обладают тем свойством, что их дисперсия убывает с ростом Отсюда можно заключить

что не является хорошей выборочной оценкой спектра, по крайней мере в том виде, в каком она здесь приведена.

Чтобы показать, что выборочный спектр не сходится в каком-либо статистическом смысле и для процессов, отличных от белого шума, рассмотрим процесс авторегрессии, построенный по формуле (5.3.36).

Рис. 6.1. (см. скан) Выборочные спектры для первой половины и для всей реализации дискретного нормального белого шума.

Теоретическая корреляционная функция и соответствующая выборочная функция, сосчитанные по реализации из 400 членов, показаны на рис. 5.13. Теоретический спектр и выборочный спектр, сосчитанные по той же самой реализации, приведены на

рис. 6.2. Как и в примере с белым шумом, выборочный спектр очень сильно колеблется и мало похож на теоретический.

Рис. 6.2. (см. скан) Выборочный спектр для реализации процесса авторегрессии второго порядка.

Резюме. Для детерминированных сигналов, спектр является пределом (в обычном математическом смысле) выборочного спектра при безграничном увеличении длины записи. Однако, как показывает пример с белым шумом, поведение функции

для временного ряда является настолько неустойчивым, что она становится бесполезной для оценивания. Основная причина, по которой анализ Фурье неприменим к временным рядам, заключается в том, что он основан на предположении, что амплитуды, частоты и фазы фиксированы. Для временных же рядов характерны случайные изменения амплитуд, частот и фаз. Поэтому тот вывод, что анализ Фурье для временных рядов следует видоизменить, учитывая их случайную природу, не является неожиданным.