2.1.4. Интегралы Фурье
До сих пор было показано, что с помощью тригонометрических рядов можно представить два типа сигналов. Сигналы первого типа 
состояли из конечного числа 
ординат, отстоящих на 
сек друг от друга. Сигналы этого типа можно было бы представить на данном интервале с помощью непрерывного сигнала 
образованного 
гармониками основной частоты 
гц. Максимальной из присутствующих частот является 
гц, и поэтому про сигнал 
говорят, что он имеет ограниченную полосу частот. Сигналы второго типа 
были непрерывными сигналами, заданными на интервале 
Мы видели, что сигналы такого типа можно представить на этом интервале с помощью некоторого сигнала, состоящего из бесконечного числа гармоник основной частоты 
гц.
В более общем случае нужно рассматривать сигналы 
третьего типа, определенные на бесконечном интервале —оосю. Соответствующий подход является предельным случаем анализа Фурье, изложенного в разд. 2.1.3, в котором рассматриваются неограниченно увеличивающиеся отрезки бесконечной записи. По мере того как Г стремится к бесконечности, частотный интервал 
между соседними гармониками становится бесконечно малым, что приводит к непрерывному распределению амплитуд по частоте.
Чтобы продемонстрировать эти предельные рассуждения, можно переписать (2.1.19) в виде
В пределе, когда 
Поэтому (2.1.21) стремится к интегралу
Аналогично (2.1.18) можно переписать в виде
что стремится к
когда 
Функция 
называется преобразованием Фурье функции 
Соотношение Парсеваля (2.1.20) для случая бесконечного интервала можно записать в виде
что стремится к
Предельные операции в (2.1.25) можно представить себе следующим образом: сначала считаем, что мощность, или дисперсия, 
на частоте 
распределяется на полосе частот шириной 
что дает среднюю мощность 
в этой полосе; затем эта средняя мощность стремится к непрерывному распределению мощности по частоте по мере того, как ширина полосы становится бесконечно малой.
Физически преобразование Фурье 
представляет собой распределение интенсивности сигнала по частоте, т. е. является функцией плотности. Если 
измеряется в вольтах и 
секундах, то размерность 
есть «вольт-секунда», или «вольт на единицу частоты», так как 
имеет размерность частоты , т. е. 
.
В математических руководствах по анализу Фурье приводится множество достаточных условий для существования интегралов
(кликните для просмотра скана)
(2.1.22) и (2.1.24). В этой книге мы обходим эти условия, используя теорию обобщенных функций, начало которой было положено Дираком и которая впоследствии была строго обоснована Шварцек. Превосходное описание этой теории дано в [1, 4]; можно рекомендовать также [2]. Согласно этой теории, каждая обобщенная функция имеет преобразование Фурье, которое само является обобщенной функцией. Одно из следствий этой теории заключается в том, что ряд Фурье можно рассматривать как частный случай интеграла Фурье, как мы увидим впоследствии. Результаты разд. 2.1 резюмированы в табл. 2.3 на стр. 43.
