4.4. ВЫВОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ФУНКЦИИ ПРАВДОПОДОБИЯ

4.4.1. Основной метод

Функция правдоподобия была введена в статистику Фишером, но, как отмечалось в разд. 4.2, Фишер использовал ее главным образом для получения оценок максимального правдоподобия, которые можно было бы затем использовать для оценивания в методе выборочных распределений. Использование же метода правдоподобия для выводов ведет свое начало от работ Барнарда [7, 8] и представляет собой совершенно другой подход к статистическим выводам. Подход Барнарда можно коротко сформулировать в утверждении, что распределения вероятностей полезны при описании данных до того, как они собраны, в то время как функции правдоподобия полезны при описании данных после того, как они собраны.

Важнейшая отличительная черта выводов, основанных на правдоподобии, заключается в том, что они очень ясно показывают, что выборочное нространство не связано с оцениванием. Это логично, ибо свойства выборочной оценки должны, несомненно, зависеть от имеющихся данных, а не от данных, которые могли бы быть получены.

Способ получения выводов, основанных на правдоподобии, можно резюмировать в следующем виде:

1. Выборочная плотность вероятности наблюдений предполагается полностью известной, за исключением нескольких неизвестных значений параметров.

2. Функция правдоподобия получается подстановкой в плотность вероятности тех значений, которые получили наблюдения в данном эксперименте.

3. Функция правдоподобия строится как функция от неизвестных параметров.

4. Находятся подходящие способы извлечения и суммирования информации, содержащейся в функции правдоподобия.

В качестве простого примера применения метода правдоподобия рассмотрим несколько искусственную задачу оценки среднего значения нормальной плотности вероятности, дисперсия которой известна. Выборочная плотность вероятности (4.2.1) выборки, до того как собраны данные, имеет вид

После того как данные получены, функция правдоподобия для оказывается пропорциональной экспоненте

Отсюда функция правдоподобия, рассматриваемая как функция от с точностью до множителя равна нормальной плотности вероятности со средним значением х и дисперсией . В противоположность этому в методе выборочных распределений X имеет нормальное распределение со средним значением и дисперсией

Информация, даваемая функцией правдоподобия (4.4.1), по существу содержится в ее среднем значении х (выборочная оценка максимального правдоподобия) и в ее дисперсии Таким образом, точность, с которой оценивается параметр, сразу видна на графике функции правдоподобия. Если функция правдоподобия сплюснута, то параметр оценивается неточно, так как значения параметра, удаленные от выборочной оценки максимального правдоподобия, имеют правдоподобие ненамного меньше, чем правдоподобие самой оценки. Обратно, если функция правдоподобия сконцентрирована около выборочной оценки максимального правдоподобия, то параметр оценивается с большой точностью.