6.2. СПЕКТР

6.2.1. Определение спектра случайного процесса

Для описания изменчивости функции продемонстрированной в разд. 6.1.2, необходимо рассмотреть запись как один из многих возможных временных рядов, которые могли бы быть наблюдены, т. е. как реализацию случайного процесса. Таким образом, изменчивость записи будет охарактеризована случайными величинами как указывалось в гл. 5. При этом выборочная спектральная плотность в некоторой точке рассматривается как реализация случайной величины точно так же, как считается реализацией случайной величины Получив распределение или ее моменты, можно объяснить неустойчивое поведение показанное на рис. 6.1 и 6.2.

Используя (6.1.9), получаем первый момент оценки, соответствующей выборочному спектру

что можно с помощью (5.3.13) записать в виде

Таким образом, (6.2.1) дает среднее распределение (по всем возможным временным рядам длины Г) мощности по частотам. При увеличении длины записи Г первый момент стремится к

Математические вопросы, связанные с этим предельным переходом, более полно обсуждаются в [1].

Функция называется спектральной плотностью. Равенство (6.2.2) показывает, что спектральная плотность является преобразованием Фурье от ковариационной функции процесса Пользуясь табл. 2.3, получаем обратное преобразование

Положив в (6.2.3), получаем

Следовательно, показывает, как дисперсия процесса распределена по частотам аналогично тому, как (6.1.9) показывает, как распределена по частотам средняя мощность одной конкретной реализации длины Т. В частности, вклад в дисперсию процесса который вносят частоты в интервале от до равен приблизительно Отметим, что, согласно определению (6.1.6), является неотрицательной для всех

Для дискретного времени соотношения, соответствующие (6.2.1) — (6.2.3), имеют вид

и

Некоторые примеры. Для выяснения вопроса о том, какую информацию содержат спектры, на рис. 6.4 и 6.5 показаны теоретические спектры (спектральные плотности) процессов авторегрессии

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

первого порядка и их корреляционные функции. Аналитическое выражение для спектра процесса авторегрессии будет получено в разд. 6.2.5.

Из рис. 6.4 видно, что, когда параметр авторегрессии ряд изменяется плавно, и это находит отражение в том, что корреляционная функция плавно затухает при увеличении запаздывания. Соответствующий спектр принимает большие значения на низких частотах и малые — на высоких частотах. Следовательно, для плавно изменяющихся рядов характерны спектры, у которых большая часть мощности сосредоточена на низких частотах. Заметим, что на рис. 6.4, 6.5 и 6.6 спектры изображены в логарифмическом масштабе, детальнее показывающем их в более широком диапазоне амплитуд. Другая причина, по которой спектр лучше изображать в логарифмическом масштабе, будет указана позднее.

На рис. 6.5 мы видим, что, когда ряд очень быстро осциллирует, и это находит отражение в том, что корреляционная функция меняет знак. Соответствующий спектр принимает большие значения на высоких частотах и малые — на низких частотах. Следовательно, для быстро осциллирующих рядов характерны спектры, у которых большая часть мощности сосредоточена на высоких частотах.

На рис. 6.6 показан процесс авторегрессии второго порядка. Как указывалось в разд. 5.2.4, соответствующий временной ряд является квазипериодическим со «средним» периодом около 8 сек. Корреляционная функция отражает это периодическое поведение; она представляет собой затухающую синусоидальную волну с периодом 8 сек. Соответствующий этому случаю спектр имеет пик на частоте гц. Так как процесс не является точно периодическим, его спектр не сосредоточен на единственной частоте гц, но рассеян по всем частотам в диапазоне гц. Впрочем, большая часть мощности сосредотсь, чена вблизи частоты гц.

Нормированная спектральная плотность. Иногда приходится сравнивать временные ряды, значения которых измерены в разных масштабах. В таких случаях полезно нормировать разделив ее на дисперсию Функция

называется нормированной спектральной плотностью. Из (6.2.2)

получаем, что

так что нормированная спектральная плотность является преобразованием Фурье от корреляционной функции.

Далее, нормированный спектр, будучи пределом неотрицательных функций, сам является неотрицательной функцией. Так как интеграл от нормированного спектра равен единице, то с математической точки зрения он обладает теми же свойствами (3.1.8), что и плотность вероятности. В разд. 6.3 будет показано, что аналогия между нормированным спектром и плотностью вероятности распространяется и на оценивание этих двух функций по записям конечной длины.

Использованный в этом разделе способ определения спектра не является единственно возможным. Другой способ, основанный на собственных значениях ковариационной матрицы случайного процесса, приводится в разд. 11.1.2.

Замечания относительно определений спектра, используемых в технических работах. В разд. 6.1.1 мы уже сделали несколько критических замечаний по поводу определения спектральной плотности в виде

которое обычно приводится в учебниках по электротехнике (см., например, [2, 3]). Возражение против такого определения состоит в том, что если — реализация стационарного случайного процесса, то соответствующая случайная величина не сходится ни в каком статистическом смысле к предельному значению.

Дальнейшая путаница проистекает из-за неправильного использования фундаментального равенства (6.1.9), доказанного выше. Из того, что выборочная ковариационная функция сходится при во вполне определенном статистическом смысле к делается неправильный вывод, что допустима перестановка интегрирования и перехода к пределу

В разд. 5.3.3 было показано, что среднеквадратичная ошибка оценки ковариационной функции имеет порядок и поэтому ее распределение концентрируется все теснее около при Таким образом, является состоятельной оценкой Другими словами, средняя по времени величина сходится к средней по ансамблю величине Это

свойство обычно называют эргодическим. Для его выполнения требуется, чтобы убывала достаточно быстро.

Однако из того, что эргодическое свойство имеет место для никоим образом не следует, что оно справедливо для его преобразования Фурье . В самом деле, если имеется состоятельная оценка статистического параметра, то ее преобразование Фурье обычно не является состоятельной оценкой для преобразования Фурье этого параметра. Иначе говоря, являетея, примером выборочной функции, для которой эргодическое свойство не имеет места.

Интуиция подсказывает, что в такой ситуации интересно посмотреть, что происходит с функцией при фиксированном запаздывании и, когда длина записи Т возрастает. В этом случае собирает в себе все больше и больше информации в виде произведений , следовательно, информация, содержащаяся в относительно неограниченно возрастает при Позднее мы увидим, что информация, содержащаяся в относительно рассеяна в полосе частот При увеличении Т полная информация, содержащаяся в распределяется по полосам частот, число которых увеличивается, а ширина стремится к нулю. Точный результат состоит в том, что при увеличении Т можно оценивать среднюю мощность в полосе частот, ширина которой безгранично уменьшается; однако эффективность выборочной оценки мощности в этой сужающейся полосе не улучшается.