Глава 1. ЦЕЛИ И СРЕДСТВА АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Чтобы помочь читателю разобраться в спектральном анализе, - в этой главе дается краткий обзор важнейших понятий и основных целей анализа временных рядов.

1.1. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

1.1.1. Детерминированные и недетерминированные функции

Трудно найти какую-либо отрасль науки, которая не приводила бы к изучению данных, представляемых в виде временных рядов. Временной ряд — это случайная, или недетерминированная, функция х независимой переменной t.

Рис. 1.1. Отклонения напряжения на клеммах статора турбогенератора на 50 Мвт.

В большинстве ситуаций функция будет функцией времени, хотя в некоторых случаях она может быть функцией некоторого другого физического параметра например координаты.

Характерное свойство временного ряда состоит в том, что его будущее поведение не может быть предсказано точно, что можно было бы сделать в случае детерминированной функции времени. Во

многих отраслях прикладной математики удобно считать, что некоторые физические процессы могут быть описаны с помощью детерминированных, или математических, функций времени. Например, в большинстве электротехнических расчетов напряжение в сети представляют косинусоидальной функцией

где — частота сети и а — амплитуда напряжения. Однако более тщательное исследование амплитуды показывает, что она не является константой, а флуктуирует во времени. Так, например, на рис. 1.1 показаны отклонения напряжения на клеммах турбогенератора в зависимости от времени. Если сравнить две записи зависимости напряжения от времени, можно не обнаружить их сходства. Однако, если сравнить их статистическое поведение, или поведение в среднем, сходство начнет выявляться. Это замечание приводит к понятию случайного процесса.

1.1.2. Случайные процессы

Поскольку различные участки временного ряда обнаруживают сходство только в их осредненных свойствах, необходимо описывать эти ряды с помощью вероятностных законов, или моделей. Таким образом, предполагается, что возможные значения временного ряда в данный момент времени t описываются с помощью случайной величины и связанного с ней распределения вероятностей. Тогда наблюденное значение временного ряда в момент t рассматривается как одно из семейства значений, которые могла бы принять случайная величина в момент

Поведение временного ряда при всех значениях времени может быть описано множеством случайных величин где временная переменная t может принимать любые значения от до Таким образом, статистические свойства этого ряда описываются с помощью распределений вероятностей, связанных с любым набором значений времени Упорядоченное множество случайных величин и связанных с ними распределений вероятностей называется случайным процессом. Наблюденный временной ряд таким образом, рассматривается как одна из дважды бесконечного множества функций, которые могли бы быть порождены этим случайным процессом. Это множество дважды бесконечно, так как возможно бесконечное множество значений в любой заданный момент времени и имеется бесконечно много моментов времени.

Временные ряды, которые встречаются на практике, являются дискретными или непрерывными. Примерами дискретных временных рядов являются месячные показатели импорта и экспорта или выход продукции в последовательных партиях химического

процесса при переработке материала порциями (см. рис. 5.2). Примерами непрерывных временных рядов являются данные турбогенератора на рис. 1.1 или отраженный радиолокационный сигнал на рис. 5.1.

1.1.3. Данные, получаемые из эксперимента, и неэкспериментальные данные

Более существенная особенность временных рядов определяется тем, являются ли данные неэкспериментальными или же они получаются из некоторого запланированного эксперимента. Так, временные ряды в экономике и социальных науках являются примерами неэкспериментальных данных. Экономист обычно в состоянии лишь наблюдать экономическую систему и редко может проводить планируемые эксперименты.

Дальнейшая трудность, связанная с анализом экономических временных рядов, состоит в том, что обычно они содержат мало наблюдений. Из-за этого крайне трудно проверить, хорошо ли согласуется предлагаемая случайная модель с данными. Тем не менее методы анализа временных рядов играют существенную роль в анализе экономических данных [1].

С другой стороны, в технике и физических науках масштаб времени, в течение которого нужно собирать полезные данные, обычно намного меньше, так что можно получить временные ряды, содержащие гораздо больше значений. Кроме того, можно повторить эксперименты при аналогичных условиях, так что справедливость анализа и различных моделей может быть проверена.