1.2.3. Спектр

Предположим, что временной ряд состоит из значений косинусоидальной функции (1.1.1), отсчитываемых в дискретные моменты. Тогда можно проверить, что для частот кратных основной частоте дисперсия, подсчитанная по формуле (1.2.4), равна Если измеряется в вольтах, то это означает, что средняя мощность переменного тока, или дисперсия ряда, равна . В более общем случае, когда состоит из смеси нескольких косинусоидальных волн с частотами и амплитудами дисперсия равна

Результат (1.2.6) показывает, что если X; можно считать состоящим из смеси косинусоидальных волн, то его дисперсию можно разложить на компоненты со средней мощностью, или дисперсией, соответствующие различным частотам В гл. 6 будет показано, что если является стационарным временным рядом, то дисперсию соответствующего случайного процесса можно разложить на компоненты, интегрируемые по непрерывной области частот, согласно формуле

где называется спектром мощности этого случайного процесса. Таким образом, есть приближенная мера средней мощности, или дисперсии, в полосе частот от до

Выборочная оценка спектра данных турбогенератора, приведенных на рис. 1.1, показана на рис. 1.3. Отличительная черта этого спектра состоит в том, что высокая мощность сосредоточена на низких частотах, а на высоких частотах мощность невелика. Это происходит главным образом из-за больших положительных значений выборочной автокорреляционной функции при сдвигах, равных 1 и 2. Заметим также, что мощность не спадает равномерно от низких к высоким частотам. Вместо этого имеется плоская область в районе гц. Имеется также хорошо выраженный небольшой пик на частоте 0,39 гц, или периоде 2,54 сек, который, возможно, объясняет небольшую периодичность выборочной корреляционной функции на рис. 1.2 при больших значениях аргумента.

В гл. 6 будет также показано, что спектр и автоковариационцая функция связаны соотношением преобразования Фурье

и поэтому знание автоковариационной функции процесса эквивалентно знанию спектра процесса.

Рис. 1.3. (см. скан) Выборочная оценка спектра для изображенных на рис. 1.1 данных

Однако при анализе записей конечной длины спектр часто предпочтительней, чем автоковариационная функция. Во-первых, оценки спектра на соседних частотах приближенно независимы, и поэтому выборочный спектр обычно легче интерпретировать, чем выборочную автоковариационную функцию. И во-вторых, что важнее, во многих физических задачах спектр представляет непосредственный

физический интерес. Примеры использования спектрального анализа будут даны в разд. 1.3.

Цифровые фильтры. Хотя для описания случайного процесса с помощью его спектра и необходимо предполагать стационарность, на практике предположение стационарности не представляет серьезной проблемы.

Рис. 1.4. (см. скан) Функция усиления для фильтра первых разностей.

Это происходит из-за того, что спектр отделяет вклады во временной ряд, которые можно приписывать различным частотным полосам. Нестационарный ряд обычно характеризуется присутствием большой мощности на низких частотах. Однако во многих практических приложениях представляющая интерес информация может быть сосредоточена на высоких частотах. В таких случаях все, что нужно сделать, — это отфильтровать нестационарные низкочастотные компоненты и использовать оставшийся ряд для спектрального анализа.

Особенно простой вид цифрового фильтра для устранения низкочастотных компонент представляет собой фильтр первых разностей

Коэффициент усиления этого фильтра показан на рис. 1.4. Он характеризует степень пропускания фильтром косинусоидальной волны частоты Видно, что низкие частоты значительно ослаблены и, следовательно, будут менее заметны на выходе фильтра.