6.3.5. Спектральные окна и сглаженные спектральные оценки

Один общий класс сглаженных спектральных оценок. Описаный выше способ сглаживания Бартлетта показывает, что большую дисперсию оценки, соответствующей выборочному спектру, можно уменьшить, вводя корреляционное окно (6.3.27). Это наводит на

мысль о том, чтобы рассмотреть более общие сглаженные спектральные оценки вида

у которых дисперсия будет меньше, чем у несглаженной оценки

Рис. 6.12. Некоторые распространенные корреляционные окна.

Корреляционное окно в (6.3.28) удовлетворяет условиям:

На практике условие (3) заменяют на

так как при этом нужно будет вычислять ковариации лишь до запаздывания М. Примеры корреляционных окон, широко применяемых в спектральном анализе, приведены в табл. 6.5, а их графики построены на рис. 6.12. Преобразования Фурье этих корреляционных окон, т. е. спектральные окна показаны на рис, 6.13.

Используя свойство свертки (2.4.3), равенство (6.3.28) можно записать в виде

(кликните для просмотра скана)

где определена в примечании переводчика на стр. 263 и

Рис. 6.13. Некоторые распространенные спектральные окна. Обратное преобразование

дает возможность по спектральному окну вычислить корреляционное окно . В соответствии со свойствами (6.3.29) спекттральное

ральное окно удовлетворяет следующим условиям:

Математическое ожидание сглаженной спектральной оценки. Беря математическое ожидание от обеих частей (6.3.30), получаем

Однако, как показывает (6.3.21), для больших Т

следовательно,

Функцию будем называть средним сглаженным спектром.

Теперь нам понадобится материал разд. 2.4.1. Поскольку спектральное окно удовлетворяет условию (6.3.33) — (3), функция будет выглядеть как несколько искаженная функция Этот эффект показан на рис. 2.10, где соответствует функции соответствует функции а корреляционные окна соответствуют временным окнам Из рис. 2.10 видно, что чем меньше ширина корреляционного окна, тем сильнее отличается от Следовательно, для того чтобы смещение

было малым, нужно выбирать большое М. Это противоречит упоминавшемуся выше требованию выбора малого значения М для того, чтобы дисперсия была небольшой. В разд. 4.2.3 было показано, что нужно выбирать компромиссное решение, учитывая и дисперсию, и смещение оценки. Те же самые рассуждения применимы и к оценкам спектра. Смещение можно сделать малым, лишь сужая т. е. выбирая ее как можно ближе к -функции. С другой стороны, узкое спектральное окно приводит

к большой дисперсии. Поэтому разумная процедура состоит в минимизации среднеквадратичной ошибки [7]:

Точная природа компромисса, который нужно сделать, будет зависеть от плавности изменения теоретического спектра Например, если очень плавно меняется, то дисперсию можно уменьшить с помощью широкого окна, не внося серьезного смещения. В частности, если плавно меняется в диапазоне то (6.3.36) приблизительно равно

в силу (6.3.33) и (6.3.34). Следовательно, если теоретический спектр изменяется достаточно плавно, то получается фактически несме-" щенная оценка, хотя спектральное окно при этом делается широким для снижения дисперсии.

Приближенные выражения для смещения. Если нельзя считать, что теоретический спектр изменяется плавно по сравнению со спектральным окном, то можно, следуя Парзену [8], приближенно подсчитать смещение, соответствующее данному спектральному окну. Используя (6.3.28) и (5.3.13), мы можем записать смещение для больших Т также в виде

Подставляя в эту формулу корреляционные окна из габл. 6.5, получаем следующие выражения для смещений, соответствующих этим окнам:

В приведенных выше выражениях вторая производная спектра.

Эти формулы показывают следующее:

1. Если отрицательна (как, например, в окрестности пика), то смещение отрицательно, и поэтому в окрестностях пиков оценки будут обычно давать заниженные значения. Наоборот, если положительна как, например, в окрестности впадины), то смещение положительно, и в этих точках оценки будут обычно давать завышенные значения.

2. Чем меньше ширина пика или впадины, тем больше , следовательно, тем больше смещение.

3. Смещение для окна Бартлетта имеет порядок и поэтому оно будет, вообще говоря, больше, чем смещения для окон Тьюки и Парзена, которые имеют порядок

4. Смещение уменьшается с увеличением М, т. е. с уменьшением ширины окна.

5. При одинаковом значении точки отсечения М, т. е. максимального запаздывания, на котором корреляционное окно отлично от нуля, окно Парзена дает большее смещение, чем окно Тьюки. Это происходит из-за того, что спектральное окно Парзена шире, чем спектральное окно Тьюки (см. рис. 6.13). Однако дисперсия оценки Парзена меньше, чем дисперсия оценки Тьюки при одном и том же значении М, как будет показано в разд. 6.4.1.

Формулы (6.3.38) полезны для качественного описания свойств смещения, однако для получения количественной картины нужно построить график среднего сглаженного спектра, как будет показано в разд. 7.1.