5.2.4. Процессы авторегрессии

Непрерывный процесс первого порядка. Рассмотрим линейную систему первого порядка, описываемую дифференциальным уравнением вида (2.3.2), а именно

где -вход системы, выход. Если в эту систему вводится белый шум то выход будет линейным процессом (5.2.6) с Процесс определяемый уравнением

называется процессом авторегрессии первого порядка. Из (5.2.11) следует, что корреляционная функция выхода равна

Условие устойчивости (5.2.12) требует, чтобы временная константа Т была положительной. Это является также условием того, что процесс — стационарный, а его дисперсия конечна.

Дискретный процесс первого порядка. Дискретный процесс авторегрессии первого порядка получается из чисто случайного процесса с помощью уравнения

Используя -преобразование, (5.2.26) можно записать в виде

Следовательно,

Используя (5.2.17), получаем отсюда, что корреляционная функция процесса авторегрессии равна

Условие устойчивости, или стационарности, (5.2.18) сводится теперь к условию так как

Пример. На рис. 5.8, а показан ряд из 40 членов, полученный согласно уравнению (5.2.26) при Значения чисто случайного процесса брались из таблиц независимых нормальных чисел [7]. При корреляционная функция равна Эта функция становится близкой к нулю лишь при больших значениях

Рис. 5.8. Выборки процессов авторегрессии первого порядка и их теоретические корреляционные функции; а)

Таким образом, соседние точки процесса имеют большую положительную корреляцию, например и плавный характер ряда отражается в плавности корреляционной функции. Ряд, показанный на рис. 5.8, б, соответствует случаю Соседние точки теперь имеют высокую отрицательную корреляцию, так как и корреляционная функция осциллирует от положительных до отрицательных значений, отражая осциллирующий характер ряда. Заметим, что непрерывный процесс авторегрессии первого порядка (5.2.24) может приводить лишь к положительным корреляциям, и поэтому он соответствует дискретному случаю

Процесс авторегрессии первого порядка иногда называют марковским процессом первого порядка. Это обусловлено тем, что случайная величина при фиксированной не зависит от предшествующих величин Из (5.2.26) видно, что если — нормальный процесс со средним значением 0 и

дисперсией то условная плотность вероятности

1) является нормальной со средним значением и дисперсией

Непрерывные процессы второго порядка. Непрерывный процесс авторегрессии второго порядка можно записать в виде

Можно различать два типа процессов второго порядка. В случае, если характеристическое уравнение имеет вещественные корни уравнение (5.2.28) можно записать в виде

Если же корни характеристического уравнения комплексны то процесс второго порядка можно записать в виде

где . Процессы (5.2.29), (5.2.30) можно рассматривать как выходы линейных систем второго порядка, на вход которых подается белый шум. Например, процесс (5.2.30) соответствует системе второго порядка (2.3.8) из гл. 2, где вход состоит из непрерывной последовательности случайных импульсов. Отсюда выход является непрерывной искаженной периодической функцией. Для того чтобы (5.2.30) имело смысл, необходимо принять, что изменения создают разрывные изменения ускорения выхода

Дискретные процессы второго порядка. Для дискретного времени процесс авторегрессии второго порядка имеет вид

Моделью (5.2.31) пользовался в математик Он утверждал, что при в (5.2.31) эта модель описывает поведение простого маятника, демпфированного сопротивлением воздуха, пропорциональным его скорости. Если является чисто случайным процессом, то маятник подвергается случайным толчкам через равные промежутки времени. Вместо затухающих колебаний маятник теперь совершает возмущенное периодическое движение.

На рис. 5.9 показан ряд из 40 членов, полученный по схеме дискретного процесса авторегрессии второго порядка (5.2.31) при Видно, что рад имеет определенную

периодическую структуру. Однако период и фазы постоянно изменяются благодаря воздействию случайной компоненты

Процесс (5.2.31) можно рассматривать как выход дискретной линейной системы, на вход которой подается чисто случайный процесс

Рис. 5.9. (см. скан) Выборка процесса авторегрессии второго порядка и теоретическая корреляционная функция.

Функция отклика этой системы на единичный импульс была введена в разд. 2.3.5. Она равна

для случая Если то

где . В гл. 2 было показано также, что для стационарности нужно, чтобы параметры из (5.2.31) лежали в треугольной области

Корреляционные функции. Используя (5.2.10) и отклики на единичный импульс, приведенные в табл. 2.6, получаем корреляционную функцию непрерывного процесса (5.2.29):

Аналогично получаем корреляционную функцию непрерывного процесса (5.2.30):

где

Корреляционную функцию дискретного процесса (5.2.31) можно получить из (5.2.32) и (5.2.17). Для случая действительных корней она имеет вид

и для комплексных корней

Коэффициент затухания частота и фаза в (5.2.38) даются выражениями

Для ряда, изображенного на рис. 5.9, где коэффициент затухания частота и фаза Корреляционная функция этого ряда построена под самим рядом на рис. 5.9. Видно, что она затухает очень быстро.

Из-за большого разнообразия корреляционных функций, порождаемых процессами авторегрессии, они находят широкое применение в качестве моделей для анализа стационарных временных рядов. Задача оценивания параметров процессов авторегрессии будет обсуждена в разд. 5.4.