ПРИЛОЖЕНИЕ П2.1. ОПЕРАТОРНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
На протяжении всей этой книги нам потребуется выполнять различные операции с преобразованиями Фурье. Ниже приводится их сводка.
Изменение масштаба времени и сдвиг начала координат. Если 
имеет преобразование Фурье 
то преобразование Фурье от 
равно
Пример. Из табл. 2.5 мы видим, что преобразование Фурье от 
равно
Следовательно, преобразование Фурье от
равно
где
Дифференцирование. Если 
имеет преобразование Фурье 
то 
производная 
имеет преобразование Фурье
при условии, что эта производная существует.
Пример. Как и в предыдущем примере, используем пару преобразований из табл. 2.5:
Получаем, что преобразование Фурье от
равно
Интегрирование. Если 
имеет преобразование Фурье 
то преобразование Фурье от 
где
равно
Константы 
можно определить, используя значения функций 
в нуле, например
Пример. Функция предыдущего примера
имеет преобразование Фурье
Следовательно, преобразование Фурье от
равно
Интегрирование обеих частей 
дает
Но 
, следовательно, 
Симметрия. Если 
есть преобразование Фурье от 
то 
есть преобразование Фурье от 
Пример. Преобразование Фурье от функции
равно 
Следовательно, преобразование Фурье от 
равно
Аналогично преобразование Фурье от 
равно
Следовательно, преобразование Фурье от
равно
Свертки и теорема Парсеваля. Мы приведем эту теорему в более общем виде, чем результаты (2.1.16), (2.1.20), (2.1.26), выведенные в разд. 2.1. Обобщение утверждает, что если 
— два комплексных сигнала с преобразованиями Фурье 
соответственно, то
где звездочка означает комплексное сопряжение.
Иногда бывают полезны три специальных случая формулы (П2.1.4):
а) Если 
то (П2.1.4) сводится к
б) Если 
действительны, то (П2.1.4) сводится к
в) Если 
то (П2.1.4) сводится к
Теорема Парсеваля в форме (П2.1.7) включает в себя эту же теорему в форме (2.1.26), выведенную в разд. 2.1.
Заметим, что из-за симметрии преобразования Фурье сигнал и его преобразование можно поменять ролями. Например,
а симметрия соотношения (в) видна непосредственно. Следует отметить, что упомянутые выше операторные свойства применимы точно так же к конечным и бесконечным рядам Фурье. Три формы теоремы Парсеваля, выведенные в разд. 2.1, служат примером этому.
