6.4.3. Доверительные границы для спектра

Поскольку имеет -распределение с степенями свободы, где задается равенством (6.4.17), то отсюда получаем

где определяется из равенства Отсюда, используя точно такие же рассуждения, что и в разд. 3.3.2, получаем, что интервал

является -ным доверительным интервалом для Для заданного отношения значение соответствующее данному спектральному окну, можно взять из столбца 4 табл. 6.6. После этого доверительный интервал можно вычислить по (6.4.20), взяв с рис. 3.10 множители Например, выборочная сглаженная спектральная оценка, приведенная на рис. 6.10, была получена с помощью окна Бартлетта при Поэтому из табл. 6.5 находим На частоте гц , пользуясь рис. 3.10, находим -ные доверительные границы для

Аналогично -ные доверительные границы для полученные с помощью несглаженного выборочного спектра на той же частоте гц, равны

Эти границы значительно шире, так как при этом выборочной оценке соответствует меньшее число степеней свободы.

Заметим, что равенство (6.4.19) дает доверительный интервал для лишь на одной конкретной частоте Если задать доверительные интервалы на частотах, на которых оценки независимы, то уровень доверия будет что обычно значительно меньше, чем 1 — а. Отметим еще, что дисперсия будет полно характеризовать свойства оценки лишь в том случае, когда мало смещение, как отмечалось в разд. 6.3.5. Поэтому построенные выше доверительные интервалы будут иметь значение лишь тогда, когда спектральное окне достаточно узкое, так что нет заметного смещения.

Доверительные интервалы в логарифмическом масштабе. В разд. 7.1.2 будет показано, что выборочные спектральные оценки

нужно строить в логарифмическом масштабе, так чтобы изменчивость спектра могла быть выражена удобным образом. Логарифмический масштаб является также разумным с технической точки зрения, так как обычно важны относительные изменения мощности. Со статистической точки зрения также важно строить спектры в логарифмическом масштабе, так как при этом построение доверительного интервала для спектра сводится к откладыванию около выборочной спектральной оценки одного и того же интервала для всех частот. Таким образом, из (6.4.20) доверительный интервал для равен

Поэтому при построении выборочной оценки спектра доверительный интервал для всех частот можно указать одним вертикальным отрезком.

Рассмотрим, например, выборочную сглаженную спектральную оценку на рис. 6.10, для которой Из рис. 3.10 и (6.4.21) находим, что -ные доверительные интервалы для равны

Для построенной на логарифмической бумаге, -ный доверительный интервал можно было бы получить, просто построив точки (0,61; 1,0; 1,94), взятые с рис. 3.10, в виде вертикального отрезка в логарифмическом масштабе. Этот способ мы проиллюстрируем в разд. 7.2 и в других местах книги.