6.1.3. Соотношение между выборочной спектральной плотностью и выборочной ковариационной функцией

Прежде чем дать более точное определение спектра стационарного случайного процесса, мы выведем фундаментальное соотношение, связывающее выборочный спектр и выборочную ковариационную функцию.

Из определения выборочного спектра (6.1.6) мы имеем

При замене переменных

в двойном интеграле (6.1.8) область интегрирования преобразуется так, как показано на рис. 6.3. При этом (6.1.8) переходит в

Вводя функцию определенную равенством (5.3.5), мы получаем

Следовательно, выборочный спектр, или выборочная спектральная плотность, является преобразованием Фурье от выборочной ковариационной функции. Обратное по отношению к (6.1.9) преобразование Фурье можно записать в виде

откуда при получаем

Таким образом, выборочная спектральная плотность показывает, как дисперсия, или средняя мощность, сигнала распределена по частотам.

Рис. 6.3. (см. скан) Преобразование координат для выборочного спектра.

Для дискретного времени выборочный спектр равен

что соответствует формуле (6.1.9). Обратное преобразование

что соответствует формуле (6.1.10).

Пары преобразований Фурье (6.1.9), (6.1.10) и (6.1.12), (6.1.13) являются математическими тождествами, которые верны независимо от того, является ли детерминированным сигналом или реализацией случайного процесса. В следующем разделе дается интерпретация предельного значения для случая, когда -реализация стационарного случайного процесса.