6.3.2. Критерий для проверки гипотезы о том, что шум белый

Необходимость критерия. На практике часто возникают ситуации, когда требуется проверить гипотезу о том, что наблюдаемый временной ряд является реализацией белого шума. Пример такой ситуации приведен в разд. 5.3.5, где критерий для проверки того, что шум белый, был применен к случайным гауссовским числам, полученным с помощью вычислительной машины. Другим примером служит проверка подобранной модели, например процесса авторегрессии (5.2.39). Модель можно считать адекватной, если остаточные ошибки (между подобранной моделью и данными) образуют белый шум.

Приведенный в разд. 5.3.5 критерий для проверки того, что шум белый, полезен тогда, когда подозревают наличие «локальных корреляций», т. е. когда есть подозрение, что соседние точки временного ряда коррелированы. Иногда требуется обнаружить отклонения от белого шума, вызванные периодическими эффектами. Так, например, после подбора модели для экономического временного ряда, содержащего сезонные вариации, несоответствие модели могло бы выразиться в периодичности остаточных ошибок. В таком случае более подходящим является частотный критерий, основанный на выборочном спектре. Один такой критерий приведен ниже; его надо рассматривать как дополнение к критерию разд. 5.3.5, основанному на корреляционной функции.

Критерий. Равенство (6.2.14) показывает, что спектр дискретного белого шума имеет вид

Отсюда спектральная функция

линейно зависит от частоты.

Предположим, что выборочный спектр сосчитан для гармонических частот Рассмотрим тогда оценки спектральной функции

Заметим, что если вычитается среднее значение. Так как то

и, следовательно, является несмещенной оценкой На практике удобнее нормировать разделив ее на . В этом случае Поскольку неизвестна в практических ситуациях, ее следует заменить на оценку так что в окончательном виде оценка нормированной спектральной функции имеет вид Таким образом, соответствующая выборочная оценка, сосчитанная по временному ряду, равна

Если построить график этой выборочной оценки, беря в качестве аргументов точки то точки графика должны лежать близко к отрезку, соединяющему точки (0,0) и . Так как представляет собой сумму случайных величин с одинаковым распределением, то можно применить критерий Колмогорова — Смирнова [4], чтобы узнать, являются ли отклонения выборочной оценки нормированной спектральной функции от прямой линии значимыми (обычно этот критерий применяют для проверки значимости отклонений выборочной функции распределения от теоретической).

Два примера. В табл. 6.2 приведены значения для одной из выборок случайных нормальных чисел, использованных для вычислений в табл. 6.1. Здесь , следовательно, На рис. 6.8 показан график в зависимости от для этого ряда. Из этого рисунка видно, что отклонения от прямой невелики. Чтобы получить точное заключение о величине этих отклонений, можно при больших воспользоваться критерием значимости Колмогорова — Смирнова [4]. Он состоит в том, что надо построить полосу около теоретической прямой. Для уровней значимости 0,95 и равно 1,36 и 1,02 соответственно. В нашем случае поэтому -ные границы равны -ные границы равны . Эти границы

Таблица 6.2. (см. скан) Выборочный спектр на гармонических частотах для выборки белого шума

показаны пунктиром на рис. 6.8, и мы видим, что значения попадают целиком между ними. Поэтому нет никаких доводов против того, что выборка получена из белого шума. Интерпретация -ных границ, например, заключается в том, что в среднем на каждом четвертом графике максимальное отклонение от теоретической прямой будет выходить за границы, даже если процесс на самом деле является белым шумом.

В табл. 6.3 показаны результаты вычислений для этого критерия, выполненных по ионосферным данным из табл. 2.1. Для этих данных Значения из табл. 6.3 можно получить, умножая вклады в среднеквадратичное значение, помещенные в табл. 2.2, на

Из рис. 6.9 видно, что выборочная оценка спектральной функции сильно отклоняется от прямой линии, поскольку примерно в два раза больше соответствующего среднего значения для белого шума, почти в три раза больше. Доверительные границы, о которых мы говорили выше, здесь неприменимы, так как

(кликните для просмотра скана)

слишком мало. Фактически, в этом случае и не требуется никакого критерия значимости, поскольку значения так велики при и 0,166.

Рис. 6.9. (см. скан) Проверка ионосферных данных на случайность.