4.4.2. Свойства функций правдоподобия

В этом разделе мы рассмотрим интерпретацию функций правдоподобия и правила комбинирования этих функций.

Принцип правдоподобия. Принцип правдоподобия заключается в том, что если два эксперимента приводят к пропорциональным функциям правдоподобия, то выводы, получаемые из этих экспериментов, должны быть одинаковыми.

Предположим, например, что 8 транзисторов подвергаются проверке. До проведения эксперимента число дефектных транзисторов можно описать с помощью случайной величины выборочного пространства и биномиального распределения вероятностей

После проведения эксперимента, заключающегося в проверке 8 транзисторов, оказалось, что три транзистора дефектны. Функция

правдоподобия в этом случае имеет вид

Теперь предположим, что был проведен другой эксперимент, в котором транзисторы проверялись до тех пор, пока не было обнаружено дефектных. До проведения этого эксперимента число проверенных транзисторов можно описать с помощью случайной величины выборочного пространства и распределения вероятностей Паскаля

которое дает вероятность того, что для получения дефектных транзисторов нужно проверить всего транзисторов.

Если оказалось, что для получения трех дефектных пришлось проверить транзисторов, то функция правдоподобия после проведения экспериментов окажется равной

Равенство (4.4.5) пропорционально равенству (4.4.3), и, согласно принципу правдоподобия, информация относительно параметра содержащаяся в обоих экспериментах, одинакова. Если же принять метод выборочных распределений, то выводы, которые должны быть сделаны из этих двух экспериментов, будут разными, так как выборочные пространства и распределения вероятностей являются в них различными. Следовательно, доверительный интервал для в первом эксперименте отличался бы от доверительного интервала во втором.

Отметим, что принцип правдоподобия является формальным выражением того факта, что выборочное пространство не связано с оцениванием Дальнейшее обсуждение принципа правдоподобия читатель может найти в [8, 9].

Перемножение правдоподобий. Если функцию правдоподобия для параметра вычисленную по данным обозначить и если независимые данные дают функцию правдоподобия то полная функция правдоподобия, основанная на данных имеет вид

Это сразу следует из того, что если два набора данных независимы, то полная выборочная плотность вероятности равна произведению отдельных выборочных плотностей вероятности.

В этом смысле функция правдоподобия подчиняется тому же мультипликативному закону, что и плотность независимых случайных величин. Правдоподобие, как и распределение вероятностей,

является неотрицательной величиной. Однако на этом их сходство кончается. Не существует закона для объединения правдоподобий, который был бы аналогичен правилу сложения для вероятности объединения двух взаимоисключающих событий.

Шансы, получаемые из отношения правдоподобия (likelihood odds). Рассмотрим функцию правдоподобия (4.4.3) для параметра Выборочной оценкой максимального правдоподобия является которая дает значение правдоподобия Для другой величины скажем правдоподобие равно Отсюда шансы, получаемые из отношения правдоподобия, за то, что по сравнению с равны 27:1.

Это утверждение можно интерпретировать следующим образом:

1) Шансы, получаемые из отношения правдоподобия, измеряют степень обоснованности, с которой по нашим данным параметру можно приписать значение 3/8, а не Для того чтобы эти два значения можно было считать одинаково правдоподобными, нужно, чтобы другой независимый эксперимент дал те же шансы в пользу значения

2) Лицо, не имеющее никакой дальнейшей информации, было бы готово заключить пари в отношении за то, что истинным значением окажется , а не