2.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ИХ СВОЙСТВА

2.2.1. Функции с хорошим поведением

В качестве примера применения (2.1.24) рассмотрим преобразование Фурье простой функции Тогда

В табл. 2.4 приведены преобразования Фурье некоторых сигналов которые нам понадобятся позднее.

Таблица 2.4. Некоторые простые функции и их преобразования Фурье

Эти сигналы и их преобразования изображены на рис. 2.3. Вспоминая, что дает распределение интенсивности сигнала по частоте, отметим, что сигнал на рис. 2.3, а является вполне плавным, и поэтому в его преобразовании доминируют низкие частоты.

Заметим также, что острые углы в как на рис. 2.3, б, создают волнистую рябь, или боковые лепестки, в преобразовании, а периодичности в появляются в преобразовании в виде пиков, что видно на рис. 2.3, в.

Рис. 2.3. (см. скан) Некоторые простые сигналы и их преобразования Фурье.

Все сигналы в табл. 2.4 являются четными функциями и поэтому их преобразования Фурье являются действительными и

четными функциями. В общем случае это не так. Например, предположим, что не является четной функцией

Тогда, используя (2.1.24), получим

Это преобразование является комплексным, его можно записать в виде суммы действительной и мнимой частей:

Иначе его можно записать, используя (2.1.13), в виде амплитудной и фазовой функций

так что

Отметим, что все эти преобразования затухают, или «диссипируют», когда стремится к бесконечности. Теперь мы рассмотрим случаи, когда преобразования не затухают.