2.3.3. Частотные характеристики

Для входных сигналов, более сложных, чем импульс или скачок, вычисление выходного сигнала с помощью интеграла свертки (2.3.5) становится утомительным. Эта задача значительно упрощается при использовании анализа Фурье. Метод состоит в следующем: сигнал разлагают на его компоненты Фурье по формуле (2.1.24), затем находят отклик системы на периодический сигнал , наконец, суммируют все отклики по формуле (2.1.22), что и дает окончательный выходной сигнал. Сначала нужно узнать

отклик системы на входной сигнал Подстановка этого сигнала в (2.3.5) дает

где

и

Иначе (2.3.12) можно переписать в виде

где

и

Отсюда отклик на косинусоидальную волну частоты является косинусоидальной волной той же частоты, но с амплитудой, умноженной на величину называемую коэффициентом усиления, и с фазой, сдвинутой на величину называемую фазовым углом.

Как и прежде, для удобства оперирования с формулами рассмотрим отклик на комлексный входной сигнал

частоты . В этом случае выходным сигналом будет

где функция

называется частотной характеристикой системы. Следовательно, частотная характеристика является преобразованием Фурье от функции отклика на единичный импульс.

Графики Бодэ. Частотные характеристики, коэффициенты усиления и фазы для некоторых простых систем приведены

в табл. 2.6, а коэффициенты усиления и фазы изображены на рис. 2.8. Обычно на график наносят логарифм коэффициента усиления в зависимости от логарифма частоты и фазу в зависимости от логарифма частоты. Эти графики называют графиками Бодэ [5]. Графики на рис. 2.8 распадаются естественным образом на четыре категории.

1. Номера 1 и 2 имеют постоянный коэффициент усиления для всех частот и называются широкополосными системами (пропускающими все частоты).

2. Номера 3,4, 5 и 6 таковы, что высокие частоты отфильтровываются или ослабляются системой, а низкие частоты пропускаются с различными коэффициентами усиления. Поэтому эти системы ведут себя как фильтры низких частот и соответствуют некоторой форме интегрирования или сглаживания входного сигнала.

3. Номер 7 соответствует колебательной системе, описываемой уравнением (2.3.8). Здесь график коэффициента усиления имеет резонанс, или пик, на частоте где — естественная резонансная частота системы.

4. Номера 8 и 9 имеют графики коэффициентов усиления, такие, что более низкие частоты ослабляются, а более высокие частоты проходят. Эти системы действуют как фильтры высоких частот и включают в себя дифференцирование входного сигнала. Дальнейшее различие между категориями (2) и (4) состоит в том, что в (2) интегрирование входного сигнала приводит к отрицательным фазам т. е. выходной сигнал запаздывает по отношению к входному. С другой стороны, в (4) дифференцирование входного сигнала дает положительные фазы, так что выходной сигнал опережает входной, как это имеет место на графике номер 9.

Ширина полосы частот. Удобный способ описания функции усиления линейной системы можно получить, используя ее ширину полосы частот [5]. Были предложены различные определения ширины полосы частот; в простейшем из них для определения используется такая полоса, в которой мощность уменьшается до половины максимального значения. Для системы, имеющей максимальное усиление на частоте ширина полосы частот определяется как разность где выбраны так, что

Например, для одиночной экспоненциальной системы максимальное усиление достигается при а усиление, равное половине максимального, — при Следовательно, если Т велико,

(кликните для просмотра скана)

то ширина полосы частот очень мала, как можно увидеть на рис. 2.8. Таким образом, отклик на единичный импульс будет очень широким и небольшим по амплитуде. С другой стороны, для малых Т, ширина полосы частот велика и отклик на единичный импульс очень высокий и узкий. В пределе, когда ширина полосы частот становится бесконечной, как для простого усиления на рис. 2.8, и отклик на единичный импульс стремится к дельта-функции. Следовательно, широкие полосы частот соответствуют узким функциям отклика на единичный импульс, и наоборот, узкие полосы частот соответствуют широким функциям отклика на единичный импульс.

Устойчивость. Системы, приведенные в табл. 2.6, могут быть представлены дифференциальным уравнением следующего общего вида:

Подставляя в получим, что частотная характеристика равна

Подставив в и приравняв знаменатель нулю, получим характеристическое уравнение системы, а именно

Можно показать [4], что условие устойчивости системы (2.3.11) эквивалентно условию, что все корни характеристического уравнения (2.3.20) имеют отрицательные действительные части.