6.2.3. Спектр белого шума

В разд. 5.2.1 чисто случайный процесс, или белый шум, был определен как проиесг, имеющий ковариационную функцию . Этот процесс имеет бесконечную дисперсию и поэтому не может быть случайным процессом в обычном смысле. Однако мы показали, что его можно рассматривать как предел при процесса Башелье—Винера имеющего ковариационную функцию

Отсюда, согласно определению (6.2.2), процесс Башелье—Винера имеет спектральную плотность

В пределе при функция стремится к константе для всех

Процесс называется белым шумом по аналогии с белым светом в оптике, содержащим все оптические частоты с приблизительно одинаковой интенсивностью. Строго говоря, белый шум

нельзя реализовать физически, так же как и единичный импульс, который можно рассматривать как математический аналог единичного импульса в технике.

Способы генерации белого шума. При определении белого шума для дискретного времени не возникает никаких трудностей, так как ковариационная функция дискретного белого шума равна

Используя (6.2.6), получаем

так что все частоты в интервале несут одну и ту же мощность, или дисперсию.

Дискретный белый шум можно очень просто получить из непрерывного небелого шума. Предположим, например, что имеется источник непрерывного небелого шума, ковариационная функция которого равна нулю при Ясно, что если мы возьмем отсчеты процесса отстоящие друг от друга на то получим процесс с ковариационной функцией (6.2.14).

Частотная интерпретация этого метода генерации дискретного белого шума из непрерывного небелого шума состоит в следующем. Частота выбирания настолько мала, что происходит очень много наложений частот спектра (см. разд. 2.4.2). Поэтому спектр дискретного сигнала (отсчитываемого в дискретные моменты времени), равный сумме налагающихся участков будет становиться все более пологим, т. е. стремится к константе в интервале — Этот процесс проиллюстрирован на рис. 2.11 для одного частного случая. Заметим, что, обсуждая вопросы, связанные с белым шумом, мы ничего не предполагали относительно плотности вероятности Белый шум может иметь любую плотность вероятности.

Строго говоря, белый шум нереализуем физически, но можно получить очень хорошее приближение к нему. Например, флуктуирующий ток в электронной лампе дает очень хорошее приближение, так как его спектр мощности по существу равен константе в интервале от 0 до Этот шум, называемый обычно дробовым, создается в результате случайной эмиссии электронов с катода лампы.

Другим физическим примером шума, являющегося приблизительно белым в широком диапазоне частот, служит тепловой шум. Этот шум представляет собой напряжение (или ток) в проводнике, обладающем сопротивлением вызванное тепловым движением электронов. Его спектр мощности почти постоянен в широком диапазоне частот и равен

где Т — абсолютная температура и -постоянная Больцмана. Более детальное обсуждение дробового и теплового шумов мокно найти в [2].