3.1.4. Двумерные распределения

Иногда для описания практической ситуации необходимо использовать несколько случайных величин. Примером может служить сравнение отсчетов акселерометра, производимых пилотом, с более точными измерениями, получаемыми автоматическим регистратором.

Данные этого эксперимента показаны на рис. 3.7, где на график нанесены одновременные отсчеты пилота и регистратора Рис. 3.7. называется диаграммой разброса; она может быть использована для построения двумерной гистограммы с помощью подсчета числа точек в прямоугольниках на плоскости

Данные, приведенные на рис. 3.7, можно описать с помощью двух случайных величин где относится к отсчетам пилота, а — регистратора. Выборочное пространство для этого примера представляет собой область но в общем случае оно может быть и целой плоскостью . С этим общим выборочным пространством можно связать двумерную функцию распределения

Как и в одномерном случае, если функция распределения является достаточно гладкой, ее можно продифференцировать, в результате чего получится двумерная плотность вероятности

Следовательно, функцию распределения можно выразить через плотность вероятности с помощью

Плотность вероятности (3.1.11) можно оценить по двумерной гистограмме точно так же, как была оценена плотность вероятности по одномерной гистограмме.

Рис. 3.7. Диаграмма разброса для измерений ускорения (в единицах

Для дискретных случайных величин совместная плотность вероятности записывается и представляет собой вероятность того, что случайная величина примет значение значение

Условные распределения и независимость. Рассмотрим для двух дискретных случайных величин функцию, определяемую как долю случаев, в которых принимает значение при условии, что зафиксировано на некотором значении Эта функция называется условным распределением вероятностей при заданном и обозначается Аналогично обозначает условное распределение вероятностей при заданном .

Совместное распределение вероятностей можно при этом записать в виде

где, например, безусловное (маргинальное) распределение Безусловное распределение вероятностей можно получить из совместного распределения вероятностей с помощью

Оно дает долю случаев, в которых равно вне зависимости от того, каково значение

Если вероятность того, что случайная величина принимает значение не зависит от того, что случайная величина принимает значение то условное распределение вероятностей и условное распределение вероятностей . В этом случае говорят, что случайные величины независимы, а выражение (3.1.13) для совместного распределения вероятностей разлагается на множители в виде

Аналогично для непрерывных случайных величин совместная плотность вероятности разлагается на множители вида

в случае, если случайные величины зависимы, и на множители вида

если случайные величины независимы.

Двумерная нормальная плотность вероятности. Так же как нормальная плотность вероятности играет главную роль при описании одиночных случайных величин, двумерная нормальная плотность вероятности

играет столь же важную роль среди двумерных плотностей вероятности. Двумерная нормальная плотность вероятности зависит от

пяти параметров: . Если то (3.1.17) распадается на произведение двух нормальных плотностей вероятности; это говорит о том, что в случае случайные величины независимы. Параметр называется коэффициентом корреляции; он измеряет степень линейной зависимости между двумя случайными величинами.