4.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВЫБОРОЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ К СТАТИСТИЧЕСКИМ ВЫВОДАМ

В этом разделе будет показано, как метод выборочных распределений можно применить, во-первых, к задачам оценивания, а во-вторых, к критериям значимости.

4.2.1. Основной метод

В гл. 3 было показано, что прежде чем получить выборку наблюдений полезно посмотреть на них как на реализацию случайных величин определенных на n-мерном выборочном пространстве. С этим выборочным пространством связана плотность вероятности, называемая выборочным распределением, которая, вообще говоря, будет зависеть от набора неизвестных параметров Например, если случайные величины независимы и нормально распределены со средним значением и дисперсией то выборочное распределение, связанное с данными, будет следующим:

где в использованных раньше обозначениях. Параметры включены в левую часть выражения (4.2.1) выборочной плотности вероятности для того, чтобы показать, что она является функцией не только от х, но также и от неизвестных параметров

Предположим, что даны наблюдения и требуется оценить параметры совместной плотности вероятности случайных величин Применение метода выборочных распределений к задаче оценивания можно резюмировать в трех следующих разделах.

1. Выбор формы выборочной плотности вероятности. Сначала делается предположение о разумной форме совместной плотности вероятности наблюдений.

Рис. 4.1. Выборочные распределения для двух оценок.

Вид этой плотности будет зависеть от различных предположений, таких, как независимость случайных величин и вид функций Ясно, что решения на этой стадии будут зависеть существенным образом от априорных сведений об изучаемой ситуации. Например, если предположение о независимости неоправдано, то некоторые из параметров совместной плотности вероятности могут описывать зависимость между случайными величинами . В некоторых случаях выводы не очень существенно зависят от предположений, сделанных относительно математической формы совместной плотности вероятности. В других же случаях они могут сильно зависеть от этих предположений, следовательно, требуется некоторое статистическое умение и интуиция для установления тонной формы модели.

2. Выбор оценки. Функции от случайных величин рассматриваются как возможные оценки параметра Каждая такая функция, будучи сама случайной величиной, будет иметь выборочное распределение зависящее от неизвестной величины 0, которое можно вывести из совместной плотности вероятности данных с помощью методов, описанных в [1]. Выборочная оценка которая получается в конкретном

эксперименте, рассматривается в этом случае как реализация случайной величины

Чтобы сделать выбор между различными оценками, нужно определить критерий оптимальности. Например, из двух оценок имеющих выборочные распределения, изображенные на рис. 4.1, была бы выбрана, без сомнения, оценка так как теснее сосредоточена около истинного значения , чем . Следовательно, для любой заданной выборки будет ближе к с большей вероятностью, чем Следовательно, если бы выборочные распределения двух оценок были известны точно, то выбор между ними можно было бы сделать, сравнивая вероятности того, что они находятся ближе к истинному значению 0. Однако в большинстве приложений невозможно вычислить точно выборочные распределения. В таких случаях нужно менее детально описывать оценку, например с помощью ее младших моментов.

Были предложены различные критерии, основанные на моментах. Они могут быть использованы для сравнения данных оценок. Важнейшим из этих критериев является критерий среднеквадратичной ошибки, обсуждаемый в разд 4.2.3. Оценки максимального правдоподобия, обсуждаемые в разд. 4.2.4, образуют класс оценок, имеющих наименьшую среднеквадратичную ошибку для выборок большого объема.

3. Доверительные интервалы. Используя выборочное распределение отобранной оценки 0 или приближение к ее выборочному распределению, основанное на младших моментах, можно делать вероятностные утверждения относительно 0, такие, например, как

или, что то же самое,

Следовательно, вероятность того, что случайный интервал между 0—12 и накроет истинное значение 0, равна . Соответствующий интервал, основанный на выборочной оценке, а именно называют в этом случае доверительным интервалом для 0 с коэффициентом доверия 1—а. Это означает, что такой интервал будет покрывать истинное значение в среднем в всех случаев.

Построение доверительных интервалов является одной из важнейших задач процесса оценивания. Оно обсуждается в разд. 4.2.2. В тех случаях, когда невозможно построить точные доверительные интервалы, очень ценно получить хотя бы приближенные доверительные интервалы, определяющие грубо точность оценки. Метод получения приближенных доверительных интервалов приводится в разд. 4.2.4.

Обсуждение. Следует подчеркнуть логику метода выборочных распределений. Выборочное распределение можно использовать для вычисления вероятности того, что значение случайной величины 0 лежит между двумя пределами для всех возможных выборок объема предполагая, что параметр известен. Следовательно, как обсуждалось в гл. 3, распределение вероятностей дает нам возможность на основании общей модели судить о частной выборке. Однако цель теории оценивания состоит в том, чтобы использовать выборочную оценку 0 для получения утверждений относительно , т. е. судить на основании выборки о правильности модели. С этой точки зрения применение метода выборочных распределений в теории оценивания является искусственным в том смысле, что необходимо рассматривать не только конкретную доступную выборку, но и все другие выборки, которые могли бы быть получены. Тем не менее метод выборочных распределений важен и по своему историческому значению, и по следующим причинам.

1. Во многих случаях он приводит к заключениям, очень похожим на те, которые достигаются с помощью других способов получения выводов, таких, например, как метод правдоподобия, описываемый ниже.

2. В ситуациях, где имеет место повторная выборка, например при проверке промышленных деталей, метод, включающий рассмотрение всех возможных выборок, логичен. Однако это уже относится к области теории статистических решений, а не к теории статистических выводов.

3. В тех случаях, когда проблему нельзя свести к задаче оценивания небольшого набора параметров (как, например, в спектральном анализе, включающем оценивание большого числа параметров), метод выборочных распределений дает, по-видимому, единственно возможный подход к задаче.