5.3.4. Выборочные оценки ковариаций для случая дискретного времени

Если наблюдения получены из дискретного временного ряда, то дискретная выборочная оценка, соответствующая непрерывной оценке (5.3.5), равна

где

является выборочным средним значением всего ряда.

Приближенное значение ковариации оценок, соответствующих выборочным оценкам (5.3.25), можно получить, заменяя интегралы в (5.3.22) суммами, а именно

Выборочные оценки ковариаций для данных, пропущенных через фильтр. Иногда бывает нужно сосчитать выборочные оценки ковариаций для данных, пропущенных через фильтр. Например, может оказаться желательным устранить тренды из образуя новый ряд данных с помощью операции линейной фильтрации

Если то представляет собой ряд первых разностей, а если , то — скользящая сумма пар первоначального ряда. Сейчас мы покажем, что выборочные оценки ковариаций для данных, пропущенных через фильтр, можно выразить через выборочные оценки ковариаций исходных данных. Этим достигается значительная экономия машинного времени.

Согласно (5.3.25), имеем для выборочной оценки после фильтрации следующее выражение:

где

Подставляя (5.3.27) в (5.3.28), получаем

Раскрывая это выражение, находим

Таким образом, можно получить с помощью простой операции линейной фильтрации, примененной к . В качестве примера для фильтра первых разностей имеем

Так что выборочные ковариации первых разностей, взятых от исходных данных, равны центральным вторым разностям от выборочных ковариаций

Для операции фильтрации

которая может быть применена для устранения осциллирующих компонент временного ряда, выборочные ковариации равны

Оценивание корреляционной функции. Иногда требуется сравнить два временных ряда, масштабы измерения которых могут быть различными, так что больше подходят выборочные оценки корреляционных, а не ковариационных функций. Выборочные оценки корреляционных функций можно получить, разделив рассмотренные выше выборочные оценки ковариаций на выборочную оценку дисперсии. Таким образом, получаем

где определяются равенствами (5.3.25).

Еще одна выборочная оценка корреляций. Другой выборочной оценкой корреляционной функции, часто используемой статистиками, является

где — средние значения первых и последних наблюдений соответственно, а суммирование происходит от до Равенство (5.3.34) основано на диаграмме разброса пар для Рис. 5.5, например, соответствует случаю Если предположить, что совместная плотность вероятности случайных величин есть двумерная нормальная плотность с коэффициентом корреляции то (5.3.34)

является выборочной оценкой максимального правдоподобия для

Пользоваться оценкой (5.3.4) не рекомендуется на том основании, что хотя для отдельного значения корреляционной функции рассматриваемого изолированно от других значений, она и является разумной выборочной оценкой, но ее нежелательно применять в случае, когда нужна совокупность выборочных оценок для первых корреляций

Основной недостаток (5.3.34) состоит в том, что для коррекции среднего значения она использует две величины, которые зависят от запаздывания: в результате с изменением запаздывания меняется нормирующий множитель. Эти изменения приводят к тому, что выборочные оценки не являются положительно определенными в смысле свойства 4 из разд. 5.2.1. Это может привести к нежелательному поведению выборочных оценок спектра, которые будут рассмотрены ниже.