5.2.2. Линейный процесс и его ковариационная функция

Важный класс процессов можно получить с помощью пропускания чисто случайного процесса через линейную систему, или фильтр. Для непрерывного времени соотношение между выходным процессом и входным процессом можно записать в виде

а для дискретного времени — в виде

где Случайный процесс, который получается из белого шума с помощью выражений (5.2.6) или (5.2.7), называется линейным процессом.

Беря математическое ожидание от обеих частей в (5.2.6), получим

т. е.

Отсюда ковариационная функция выхода равна

Если процесс стационарен и имеет ковариационную функцию то (5.2.8) сводится к

Подставляя в (5.2.9) вместо ковариационную функцию белого шума (5.2.5), получим

Отсюда корреляционная функция линейного процесса равна

В гл. 6 будет показано, что процесс является стационарным, если

где М — конечное число. Заметим, что условие (5.2.12) совпадает с условием (2.3.11) устойчивости линейной системы.

В приложении П5.2 как обобщение результата (5.2.10) получены следующие выражения для третьего и четвертого моментов и для четвертого кумулянта:

и

где

и

Соответствующие формулы для дискретного линейного процесса (5.2.7) можно получить, заменяя интегралы на суммы. Например, (5.2.10) переходит в

а условие стационарности, или стабильности, соответствующее условию (5.2.12), имеет вид

где М — конечное число. Неравенство (5.2.18) совпадает с условием устойчивости (2.3. 39) для дискретных систем.

Пример линейного процесса. Как частный случай линейного процесса рассмотрим среднее значение процесса сосчитанное по конечному интервалу Т, т. е.

Отсюда

Математическое ожидание равно

при условии, что Если - произвольный стационарный процесс, то, используя (5.2.9), получаем ковариационную функцию процесса

Сделав замену и положив получим

Если — белый шум, то (5.2.19) сводится к

Заметим, что (5.2.20) совпадает в дискретном случае с выражением для дисперсии среднего арифметического, состоящего из Т независимых случайных величин, а именно

Таким образом, для дискретного белого шума дисперсия среднего арифметического равна дисперсии сигнала деленной на число наблюдений, но для белого шума с непрерывным временем конечная величина получается при делении бесконечной дисперсии на бесконечное число независимых наблюдений. Этот пример достаточно хорошо показывает, что интерпретацию и получение результатов с помощью белого шума нужно проводить очень осторожно.

Следует отметить, что дельта-функция в выражении (5.2.5) для ковариационной функции белого шума является существенной частью, а не просто служит параметром «расположения». Это означает, что дисперсия действительно бесконечна и ковариация между сколь угодно близкими значениями действительно равна нулю. Для того чтобы физически сколь угодно близкие значения

процесса были некоррелированными, т. е. чтобы процесс мог без ограничений флуктуировать от момента к моменту, он должен иметь бесконечную дисперсию.

Процесс Башелье—Винера. По аналогии с дискретным процессом (5.1.9) для непрерывного времени также можно построить процесс, имеющий некоррелированные приращения. Формально непрерывный аналог случайного блуждания можно записать в виде

или

Если - непрерывный процесс с некоррелированными приращениями, то будет равно нулю для неперекрывающихся интервалов Если же интервалы перекрываются следующим образом:

то, записав

и

получим

Можно показать далее [6], что это математическое ожидание должно иметь вид для любого разумного процесса с некоррелированными приращениями

Рассмотрим теперь производный процесс

Из (5.2.11) при фиксированном получаем, что ковариационная функция процесса равна

Если то стремится к ковариационной функции белого шума. Следовательно, белый шум можно представлять себе как несобственный случайный процесс, являющийся производной процесса с некоррелированными приращениями.

Если в дополнение к этому разность распределена по нормальному закону со средним значением и дисперсией то будет нормальным, или гауссовским, белым шумом, состоящим из некоррелированных импульсов, площадь которых имеет среднее значение и дисперсию Этот процесс был использован Винером и другими для описания броуновского движения частицы, которая находится во взвешенном состоянии в некоторой среде и испытывает случайные соударения с частицами среды.