6.4.4. Ширина полосы частот спектрального окна
В разд. 6.4.1 было показано, что полезную характеристику спектрального окна дает величина 
так как 
есть мера уменьшения дисперсии оценки, обусловленного сглаживанием с помощью спектрального окна. Следовательно, для получения небольшой дисперсии нужно выбрать 
так, чтобы 
было мало. Для заданного окна этого можно достичь, уменьшив М. Полезной характеристикой окна является также его ширина. В следующих разделах будет показано, что для получения хорошей оценки пика спектра «ширина» спектрального окна должна быть того же порядка, что и ширина пика. Поскольку спектральное окно отлично от нуля для большинства частот 
в диапазоне 
необходимо определить точнее понятие «ширины» спектрального окна.
Один способ определения ширины, или ширины полосы частот, спектрального окна, который используют статистики [9], состоит
в следующем. Рассматривают «полосовое» спектральное окно
Это спектральное окно представляет собой прямоугольник в частотной области, ширина которого равна 
таким образом, ширина полосы частот этого окна 
Из (6.4.13) получаем дисперсию сглаженной спектральной оценки, использующей это спектральное окно;
Для оценки, использующей спектральное окно отличное от прямоугольного, естественно определить ширину полосы частот окна как ширину такого прямоугольного окна, которое дает ту же самую дисперсию, т. е.
Отсюда ширина полосы частот равна
Например, для прямоугольного корреляционного окна 
и корреляционного окна Бартлетта 
из табл. 6.5 значения ширины полосы частот равны 
соответственно.
Иногда удобнее пользоваться нормированной шириной полосы частот 
соответствующей значению 
Величина 
определяется из соотношения 
Например, значения нормированной ширины полосы частот для прямоугольного корреляционного окна и окна Бартлетта равны 1/2 и 3/2 соответственно.
В пятом столбце табл. 6.6 приведены значения нормированной ширины для окон из табл. 6.5. Мы видим, что окно Парзена 
имеет нормированную ширину полосы частот примерно в 1,4 раза больше, чем окно Тьюки 
Инженеры узнают в выражении (6.4.23) определение ширины полосы частот шума, пропущенного через фильтр. Точное определение ширины полосы частот не очень существенно. Например, некоторые авторы [10] используют в качестве такого определения расстояние между точками, в которых мощность убывает до половины своего максимального значения. Мы предпочли определение (6.4.23) из-за
того, что оно использует всю форму спектрального окна и поэтому с помощью этого определения легче отличать окна по их форме, чем по определению, основанному на точках половины максимума. Из (6.4.23) видно, что дисперсия спектральной оценки обратно пропорциональна ширине полосы частот спектрального окна. Действительно, из (6.4.22) и (6.4.23) получаем
Следовательно, небольшая дисперсия соответствует широкой полосе частот и большая дисперсия — узкой полосе частот. Кроме того, равенство (6.4.17) показывает, что число степеней свободы 
сглаженной оценки равно
Следовательно, из того, что полоса частот широкая, вытекает, что число степеней свободы сглаженной оценки велико, а дисперсия мала. Обратно, из того, что ширина полосы частот невелика, следует, что число степеней свободы мало и, следовательно, дисперсия велика. Поскольку в разд. 6.3.5 было показано, что смещение уменьшается при увеличении М, то отсюда следует, что малому смещению соответствует и малое значение ширины полосы частот.
В следующей главе введенные здесь понятия применяются к практическим задачам оценивания спектра наблюдаемых временных рядов.
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
