1.2.2. Автоковариационная функция

При классической статистической обработке измерения некоторого физического параметра можно считать независимыми, поскольку эксперименты, порождающие эти наблюдения, физически независимы. Если связанное с этими измерениями

распределение вероятностей является нормальным, или гауссовским, то его можно полностью задать своим средним значением

и дисперсией

Среднее значение определяет расположение, или центр тяжести распределения, а дисперсия характеризует его изменчивость, или разброс.

Если наблюдения образуют часть временного ряда, то только для чисто случайного ряда соседние величины будут независимы, т. е. на значение величины не влияют значения величин В общем случае соседние величины временного ряда будут Коррелированы. Поэтому в случае стационарного нормального ряда, кроме среднего значения и дисперсии необходимо задать его автоковариационную функцию

На практике может быть оценена с помощью

где

является средним значением наблюденного временного ряда. Функция называется выборочной автоковариационной функцией временного ряда. Иногда удобно для сравнения рядов с разными масштабами измерений нормировать (1.2.4) с помощью деления на дисперсию Таким образом, определяется выборочная автокорреляционная функция

Выборочная автокорреляционная функция для данных турбогенератора, изображенных на рис. 1.1, приведена на рис. 1.2. Видно, что напряжение имеет высокую положительную корреляцию при

сдвиге на одну точку, что соответствует сек, сохраняет некоторую положительную корреляцию после 1 сек, но в интервале от I до сек проявляет явную отрицательную корреляцию. Это означает, что если имеет место большое напряжение, превышающее среднее значение, то весьма вероятно, что примерно через 2 сек напряжение спадет ниже среднего значения, и наоборот. Выборочные оценки для сдвигов от до 10 сек очень малы, но устойчиво отрицательны; это означает, что в среднем положительное отклонение от среднего значения имеет тенденцию к последующему отрицательному отклонению с задержкой от 2 до 10 сек.

Рис. 1.2. Выборочная автокорреляционная функция для данных, изображенных на рис. 1.1.

Однако значения в этой области крайне малы, и поэтому выводы, основанные на них, могут быть ненадежны. При больших значениях аргумента выборочная корреляционная функция обнаруживает периодичность формы напряжения с периодом примерно 3 сек. Эта периодичность, возможно, также может давать некоторый вклад в отрицательную корреляцию для сдвига около 2 сек.

Автокорреляционная функция полезна в некоторых случаях, поскольку она дает наглядную картину того, как зависимость в ряде затухает с увеличением задержки или разделяющего промежутка и между точками ряда. Однако иногда автокорреляционная функция с трудом поддается интерпретации, так как соседние значения могут быть сильно коррелированы. Это означает, что выборочная

автокорреляционная функция может иметь видимые искажения. Более детальное описание свойств и применений автокорреляционной функции дается в гл. 5. В этой книге мы будем использовать ее главным образом как промежуточную ступень при оценке спектра.