5.3.3. Свойства оценок ковариационных функций

Сейчас мы выведем свойства оценок ковариационных функций , связанные с первым и вторым моментами, предполагая, что сигнал является реализацией стационарного случайного процесса обладающего следующими свойствами:

Функция в (5.3.12) является четвертым совместным кумулянтом случайного процесса так что для нормального процесса Для других процессов можно показать [8], что при выводе свойств оценок ковариаций вкладом этого члена

можно пренебречь. Поэтому далее мы отбросим этот член. Заметим также, что сейчас предполагается Эффекты, возникающие, когда допускается ненулевое среднее значение, обсуждаются лишь вкратце.

Среднее значение оценок ковариаций. Используя (5.3.11), получаем среднее значение оценки ковариации (5.3.8)

Отсюда

Аналогично

Таким образом, является несмещенной оценкой в то время как только асимптотически несмещенная, когда длина записи Т стремится к бесконечности. Однако ниже будет показано, что смещенная оценка имеет меньшую среднеквадратичную ошибку.

Ковариация оценок ковариаций. Свойства оценок связанные со вторыми моментами, можно вывести, используя (5.3.12), где мы отбросим член Подробный вывод этого результата с объяснением всех приближений дан в приложении Здесь дается лишь краткий набросок вывода и результаты иллюстрируются примерами.

Ковариация двух оценок где аргументами взяты запаздывания (причем предполагается ), равна

(Условие не является никоим образом ограничительным, как показано в приложении П9.1.) Подставляя (5.3.12) в интеграл (5.3.15), получим

Замена переменных преобразует область интегрирования из квадрата на плоскости в параллелограмм на плоскости как показано на рис. 5.11. После этого интегрирование в (5.3.16) сводится к

где пределы интегрирования определяются из параллелограмма на рис. 5.11. Так как подынтегральное выражение не зависит от интегрирование по дает длину отрезка на высоте а именно

Поэтому из (5.3.17) и (5.3.18) получаем

Результат (5.3.19) является точным. Первоначально он был получен в [8]. При приводится к симметричной форме

Для несмещенной оценки результат, соответствующий (5.3.20), выглядит следующим образом:

Равенство (5.3.19) показывает, что в общем случае соседние значения оценок ковариационных функций будут сильно коррелированы, и, следовательно, выборочные ковариационные функции не всегда затухают с такой же быстротой, как их математические ожидания. Этот эффект проиллюстрирован в разд. 5.3.5.

Рис. 5.11. Области интегрирования для вычисления ковариационной функции.

Одно полезное приближение. Вычисление ковариации по формуле (5.3.19) обычно очень трудно проводить, если только не сделать простых предположений о форме ковариационных функций. Одно полезное приближение для больших Т предложено в [8]. Оно связано с тем, что

и, следовательно, для больших Т

Пример. Рассмотрим непрерывный процесс авторегрессии первого порядка, у которого (эта функция обсуждалась в разд. 5.2.4). Подставляя эту в (5.3.20), получаем

где (этот результат приведен в [9]).

Точный результат для несмещенной оценки можно получить, подставляя вместо знаком скобок в (5.3.23). Приближение (5.3.22) для оценки сводится к отбрасыванию членов порядка в результате чего получаем

Дисперсии двух оценок в зависимости от запаздывания и изображены на рис. 5.12 для случая Видно, что эти дисперсии совпадают при но при дисперсия смещенной оценки стремится к нулю, в то время как дисперсия несмещенной оценки стремится к бесконечности. Именно это свойство несмещенной оценки и делает ее такой неудобной.

Среднеквадратичная ошибка оценок ковариаций. Для того, чтобы сравнение двух оценок было справедливым, нужно сравнивать их среднеквадратичные ошибки. Используя выражение {4.2.12) для среднеквадратичной ошибки, а именно

и выражение (5.3.13), из которого можно получить смещение находим среднеквадратичные ошибки смещенной и несмещенной оценок:

и

Рис. 5.12. (см. скан) Дисперсии и среднеквадратичные ошибки оценок ковариационной функции для непрерывного процесса первого порядка.

Эти среднеквадратичные ошибки показаны на рис. 5.12 вместес дисперсиями для непрерывного процесса авторегрессии первого порядка с Мы видим, что среднеквадратичная ошибка для устойчиво держится выше, чем для (этот результат отмечен в [10]). Мы доказали здесь это утверждение для упомянутой выше ковариационной функции, однако есть предположение, что оно справедливо и для большинства других ковариационных функций [11].

Эргодичность. Из (5.3.13), (5.3.14) и (5.3.22) следует, что для больших Т математические ожидания равны а дисперсии пропорциональны 1/7. Следовательно, эти две оценки ковариационных функций являются асимптотически состоятельными. Таким образом, ковариационную функцию процесса можно оценить с произвольно малой ошибкой с помощью единственной достаточно длинной записи. В таком случае для ковариационной функции среднее по времени, взятое по одной бесконечной записи, равно среднему по ансамблю, и поэтому ковариационная функция называется эргодической. Во многих книгах этому свойству уделяется большое внимание, но в действительности оно не представляет большого физического интереса, поскольку наблюдаемые временные ряды имеют конечную, а не бесконечную длину.

Поправки, возникающие из-за среднего значения. Смещение оценки ковариации (5.3.8) можно получить, записывая (5.3.8) в виде

Отсюда следует, что

Наконец, из (5.2.19) получаем

так что центрирование с помощью выборочного среднего увеличивает смещение еще больше на члены порядка и более высокого.