2.1.2. Конечные ряды Фурье

Рассмотрим сигнал, заданный лишь в дискретные моменты времени, и предположим, что нужно разложить его пО периодическим функциям. Дискретный сигнал можно рассматривать как полученный из непрерывного сигнала длительности Т при отсчете

значений сигнала через интервалы времени как показано на рис. 2.1 а. Это дает выбранных значений где

Для удобства будем считать, что четное и равно так что может изменяться по целым числам

Рис. 2.1. а — дискретный сигнал, полученный выбиранием из непрерывного сигнала; — основная синусоида и гармоники.

Заметим, что периодические функции, проходящие через значения сигнала, в указанные моментов времени, могут быть выбраны бесконечным множеством способов. Например, конечный ряд Фурье

содержит констант которые можно определить так, чтобы дискретные и непрерывные значения совпадали в точках Следовательно, функция дает приближение к исходной непрерывной функции s(t) в интервале . Заменяя на в (2.1.3) и полагая получаем систему уравнений для неизвестных констант. Уравнения имеют вид

Выбрав мы сильно упростим решение системы уравнений (2.1.4), так как при этом синусы и косинусы будут ортогональны, т. е. будут удовлетворять следующим соотношениям:

Частота называется основной частотой сигнала она соответствует периоду, равному длине записи, как показано на рис. Величина измеряется в периодах в секунду, или герцах (гц), если t измеряется в секундах (сек).

Таким образом, функция в (2.1.3) составлена из суммы синусоидальных и косинусоидальных функций, частоты которых кратны основной частоте т. е. являются гармониками основной частоты, как показано на рис. Наивысшей из присутствующих частот является гц, что соответствует периоду, равному двум интервалам отсчета.

Коэффициенты или в случае можно найти, умножая обе части (2.1.4) на или и суммируя по а затем воспользовавшись соотношениями ортогональности (2.1.5).

Окончательные выражения для коэффициентов следующие:

где является средним значением, или средним арифметическим, величин Аналогичные выражения можно получить, когда число точек нечетно, скажем причем единственное отличие будет лишь в том, что член исчезает.

Пример. Рассмотрим данные табл. 2.1., которая дает интенсивность сигналов, отраженных от одного из слоев Е в ионосфере. Приведенные цифры являются осредненными по нескольким месяцам значениями интенсивности в фиксированное время суток.

Таблица 2.1. Интенсивности сигналов, отраженных от ионосферы

Табл. 2.2 дает значения коэффициентов и вычисленные по (2.1.6) и (2.1.7), причем за начало отсчета времени бралось 6 час. Коэффициент например, получается следующим образом:

Амплитудное и фазовое представление. Иногда удобнее записывать (2.1.3) в виде

где

называется амплитудой и фазой гармоники относительно некоторого произвольного начала отсчета времени. В приведенных выше формулах начало отсчета времени бралось в точке, расположенной примерно посередине между первым и последним значениями Если бы мы изменили это начало отсчета, то амплитуда осталась бы прежней, а фаза изменилась соответствующим образом. Амплитуды и фазы для ионосферных данных приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2 (см. скан). Разложение Фурье среднеквадратичного значения сигнала, представляющего ионосферные данные

Теорема Парсеваля. Среднеквадратичная величина, или средняя мощность, сигнала равна

Используя (2.1.3) и свойства ортогональности (2.1.5), можно убедиться в том, что эта величина записывается в виде

что является частным случаем теоремы Парсеваля. Другими словами, эта теорема утверждает, что среднеквадратичное значение сигнала или средняя мощность, рассеиваемая сигналом может быть разложена на составляющие, даваемые каждой гармоникой.

Для нулевой и гармоник вклад равен а для гармоники средняя мощность равна

Более удобной мерой является среднеквадратичное значение сигнала относительно среднего Оно просто равно дисперсии

или, в терминах электротехники, средней мощности переменного тока.

Разложение среднеквадратичного значения для ионосферных данных приведено в табл. 2.2. Мы видим, что среднее значение, основная и вторая гармоники составляют около 89% всей среднеквадратичной суммы, что указывает на то, что данные очень хорошо приближаются с помощью модели

Разложение среднеквадратичной суммы можно представить, нанеся на график среднюю мощность гармоники против частоты этой гармоники.

Рис. 2.2. Линейчатый спектр Фурье (периодограмма)

Такой график называется линейчатым спектром Фурье для ионосферных данных он показан на рис. 2.2.

Комплексные ряды Фурье. Приведенные выше формулы громоздки в обращении, поэтому для удобства в работе с ними лучше выразить сигнал через коплексные амплитуды где

Таким образом, (2.1.3) можно записать в виде

где причем звездочка означает комплексное сопряжение. Аналогично формулы (2.1.6) и (2.1.7) переходят в

и теорема Парсеваля (2.1.11) записывается как

Следовательно, вклад в среднеквадратичную сумму, вносимый членом в (2.1.11), разделяется в (2.1.16) на две части, каждая из которых равна одна соответствует частоте а другая — частоте

Во всей этой книге окажется удобнее оперировать с комплексными преобразованиями. Получаемые при этом формулы можно привести к вещественному виду, взяв действительную и мнимую части. Например, беря действительную и мнимую части от (2.1.15), получаем синус- и косинус-преобразования (2.1.6) и (2.1.7).