3.1.2. Непрерывные случайные величины и распределения

Во многих случаях нужно описывать ситуацию с помощью непрерывной случайной величины, т. е. случайной величины, определенной на выборочном пространстве, которое является непрерывным. Например, рис. 3.3 показывает частотное распределение тока коллектора для выборки, состоящей из транзисторов.

Рис. 3.3. Точечная диаграмма для токов коллектора.

Поскольку величина тока может принимать любые неотрицательные значения, нужно ввести случайную величину X, принимающую значение х из непрерывного выборочного пространства .

Рис. 3.3 показывает, что иногда сразу четыре транзистора имеют одну и ту же величину тока. Однако если воспользоваться более чувствительным амперметром, то может случиться так, что никакие две точки на оси силы тока не совпадут и, таким образом, бессмысленно строить распределение частот. Следовательно, нельзя говорить о вероятности осуществления конкретного значения непрерывной случайной величины X, скажем

Функция распределения. Хотя и бессмысленно рассматривать вероятность того, что некоторая непрерывная случайная величина X принимает конкретное значение х, тем не менее можно определить вероятность того, что X будет меньше некоторой величины Эта вероятность записывается и называется функцией распределения. Типичная форма такой функции показана на рис. 3.5, где видно, что она стремится к значению 1, поскольку

Функцию распределения можно оценить с помощью доли значений выборки, не превосходящих данной величины х. Выборочная функция распределения для данных, приведенных на рис. 3.3,

показана на рис. 3.4. Она состоит из ряда скачков высоты расположенных над значениями, из которых состоит выборка.

Рис. 3.4. (см. скан) Выборочная функция распределения для данных рис. 3.3.

Плотность вероятности. С функцией распределения связана плотность вероятности Она задается соотношением

при условии, что функция распределения достаточно гладкая, так что ее производная существует. Этого не будет, если случайная величина является дискретной, так как функция распределения в этом случае имеет скачки, или разрывы, в точках, соответствующих дискретным значениям X.

Плотность вероятности не является распределением вероятностей, но ее можно использовать для вычисления вероятностей. Так, интегрируя (3.1.5), получаем вероятность того, что случайная величина X меньше

а вероятность, что X лежит в интервале от до равна

По определению имеет следующие свойства:

Нормальная плотность вероятности. Одной из наиболее важных плотностей вероятности в статистике является нормальная, или гауссовская, плотность вероятности

показанная на рис. 3.5 вместе с ее функцией распределения. Нормальная плотность вероятности полностью задается двумя параметрами ряги будет обозначаться Она может быть использована для описания многих практических ситуаций, например для характеристики диаметра обрабатываемых на станке деталей или срока службы электрических ламп.

Рис. 3.5. Нормальная плотность вероятности и функция распределения.

Этот факт можно объяснить с помощью центральной предельной теоремы, которая утверждает, что плотность вероятности суммы случайных величин сходится очень быстро к нормальной при увеличении независимо от того, каковы плотности вероятности отдельных Таким образом, если окончательное измерение х является результатом многих мелких эффектов, действующих аддитивно, то следует ожидать, что нормальная плотность вероятности будет хорошо описывать ситуацию. Во многих других ситуациях может существовать некоторая подходящая функция от случайной величины X, имеющая приближенно нормальное распределение. Например, плотность вероятности логарифма емкости конденсаторов на некоторой поточной линии хорошо описывается

нормальной плотностью. Как и в дискретном случае, вопрос о применимости конкретной плотности вероятности может быть решен, только после тщательного анализа данных и относящейся к сути явления информации.