5.3. ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

В разд. 5.1.5 было показано, что обладающую наименьшей среднеквадратичной ошибкой оценку функции отклика некоторой системы на единичный импульс можно было бы выразить через ковариационные функции входа и выхода. На практике невозможно знать эти ковариационные функции точно, и, следовательно, необходимо оценивать их по записям конечной длины.

В разд. 5.3.1 будут выведены выборочные оценки наименьших квадратов для функции отклика на единичный импульс в случае, когда в распоряжении имеются конечные записи входа и выхода. Будет показано, что результаты получаются аналогичные тем, которые были выведены в разд. 5.1.5, с той разницей, что теоретические ковариационные функции заменяются их выборочными оценками. Кроме того, будет показано, что этот подход приводит к вычислению по данным таких функций, которые являются естественными выборочными оценками авто- и взаимных ковариационных функций. В разд. 5.3.2 определяются другие выборочные оценки

автоковариационной функции, а в разд. 5.3.3 выводятся их выборочные свойства. Разд. 5.3.4 и 5.3.5 состоят из обсуждения некоторых практических вопросов, возникающих при оценивании автоковариационной функции.

5.3.1. Анализ систем методом наименьших квадратов

Предположим, что вместо случайных процессов являющихся входом и выходом системы на рис. 5.7, имеются лишь реализации конечной длины Т. Тогда модель (5.1.10) можно переписать в виде

где — выборочные средние, например

Если предположить, что — белый шум, то для непрерывного времени выборочная оценка наименьших квадратов для функции получается с помощью минимизации интеграла от квадрата ошибки:

Если быть более точным, следовало бы оценить и параметр входящий в (5.1.10). Однако с высокой степенью точности он будет равен величине у, и поэтому для облегчения изложения мы заменим на у до минимизации по функции

Ясно, что можно оценить лишь для но на практике затухает на довольно коротком участке записи по сравнению со всей длиной. Таким образом, обычно интересуются оценкой в интервале 0 и где значительно меньше, чем Т. Заметим, что, хотя является реализацией случайного процесса принцип наименьших квадратов все же применим, если рассматривать как фиксированную функцию. Как отмечалось в разд. 4.4.4, знание совместного распределения случайных величин не дает ничего для оценивания

Поступая, как и в разд. 5.1.5, величину 5 можно разложить следующим образом:

Меняя порядок интегрирования, получаем

Сравнивая (5.3.3) и (5.1.12), мы видим, что в (5.3.3) член

аналогичен в (5.1.12) члену

Это наводит на мысль определить выборочную оценку взаимной ковариационной функции следующим образом:

Аналогично выборочная оценка автоковариационной функции определяется равенством

так как

Равенство (5.3.3) можно переписать в следующей форме:

ОО СО СО

которая соответствует (5.1.12). Таким образом, интеграл от квадрата ошибки полностью определяется, если даны выборочные опенки ковариационных функций и отклик на единичный имнульс точно так же как среднеквадратичная ошибка определялась полностью теоретическими ковариационными функциями и откликом на единичный импульс. Заметим, однако, что, в то время как в подходе со среднеквадратичной ошибкой требовалась стационарность процесов метод наименьших квадратов не зависит от этого предположения. Функции могут быть реализациями нестационарных случайных процессов.

После того как 5 выражена через выборочные оценки ковариационных функций или выборочные ковариационные функции, выборочная оценка наименьших квадратов получается с помощью вариационного исчисления, как описано в приложении П.5.1. Там показано, что должна удовлетворять интегральному уравнению

которое в точности совпадает с интегральным уравнением Винера—Хопфа (5.1.13), с тем лишь отличием, что функции заменены на Как и прежде, для физической реализуемости нужно, чтобы при