2.2.3. Ряды Фурье как преобразования Фурье
Рассмотрим преобразование Фурье следующего сигнала:
который является «периодическим» сигналом в интервале 
Непосредственно используя (2.1.24), получаем, что его преобразование Фурье равно
Когда Т стремится к бесконечности, сигнал 
становится действительно периодическим сигналом s(t) (периодическим для всех моментов времени), в то время как преобразование 
стремится к
поскольку каждый из членов внутри фигурных скобок в (2.2.11) является последовательностью, сходящейся к дельта-функции. Поэтому преобразование Фурье действительно периодической косинусоидальной волны (бесконечного протяжения) состоит из дельтафункции амплитуды 
сосредоточенной в 
и дельтафункции амплитуды 
сосредоточенной в 
Аналогично комплексный сигнал
имеет преобразование Фурье
Поэтому, когда 
стремится к 
Отсюда следует, что периодический сигнал с периодом 
представляемый рядом Фурье
имеет преобразование Фурье
которое представляет собой ряд, состоящий из дельта-функций. Таким образом, допуская обобщенные функции, ряды Фурье можно рассматривать как частный случай преобразований Фурье.
Для того чтобы найти коэффициенты Фурье 
соответствующие некоторой обобщенной функции, уже нельзя применять классическую формулу (2.1.18), так как обобщенная функция может оказаться неинтегрируемой в конечных пределах. Соответствующая формула, которую нужно использовать в таких случаях, приводится в [1].
В частности, можно показать, что преобразованием Фурье ряда, состоящего из дельта-функций
является
Таким образом, ряд из дельта-функций переходит в ряд также из дельта-функций. Отметим, что этот результат симметричен по отношению к частотной и временной областям.
Ряд, состоящий из дельта-функций, не является единственной функцией, симметричной относительно преобразования Фурье. Более простая функция, обладающая этим свойством, дается примером 2 в табл. 2.5 при 
Таким образом, 
преобразуется в 
В этом месте читатель должен убедиться, что он хорошо знаком с различными операторными свойствами преобразований Фурье, которые резюмированы в приложении 
