1.3. ЦЕЛИ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

В этой книге будет описано несколько различных применений спектрального анализа. Поскольку спектральный анализ является почти единственным оружием, имеющимся в распоряжении для анализа временных рядов, полезно обсудить природу задач, касающихся временных рядов, в несколько более общей постановке.

Задачи о временных рядах можно классифицировать, рискуя впасть в слишком сильное упрощение, на те, которые требуют в той или иной форме построения моделей, и те, которые приводят к

изучению частотных характеристик. Эти категории неизбежно должны несколько перекрываться.

1.3.1. Построение моделей

Легко можно отличить друг от друга несколько различных видов моделей, например пробную и усовершенствованную, эмпирическую и физическую, параметрическую и непараметрическую.

Пробная и усовершенствованная модели. На ранних стадиях работы исследователь может знать очень мало о каком-нибудь конкретном явлении. Основная цель анализа временных рядов на этом этапе может состоять в том, чтобы посмотреть на данные с различных точек зрения и увидеть, какие можно выдвинуть гипотезы. Например, изучение спектра поля вертикальных скоростей атмосферной турбулентности [3] показывало, что пик этого спектра сдвигается в сторону низких частот с увеличением солнечной радиации. Это наводило на мысль, что существуют две различные причины флуктуаций атмосферной турбулентности: высокочастотная компонента, обусловленная силами трения, и низкочастотная компонента, обусловленная тепловой конвекцией, вызванной солнечной радиацией. В результате после этого пробного анализа оказалось возможным начать построение более реальной модели атмосферной турбулентности.

Часто случается, как это было в только что изложенном примере, что первоначально предполагаемая модель временного ряда впоследствии может оказаться несовершенной. Природа этого несовершенства пробной модели может быть использована тогда для ее модификации и построения более совершенной модели.

Эмпирические и физические модели. В некоторых случаях можно построить детальные модели временного ряда, основанные на физике, лежащей в основе явления. Например, большие усилия были затрачены на построение моделей атмосферной турбулентности [3] и гидродинамической турбулентности [4]. В других ситуациях об исследуемом явлении известно так мало, что нужно прибегать к подгонке эмпирических моделей, таких, как модель скользящего среднего — авторегрессии (1.2.9). Большое преимущество физических моделей состоит в том, что они обычно требуют меньшего количества параметров, чем эмпирические модели. Чтобы принять решение о том, тратить ли время и усилия для нахождения физической модели или же прибегнуть к помощи эмпирической модели, требуется рассудительность и интуиция. Вообще необходимо идти на компромисс и использовать любые доступные физические сведения, чтобы иметь основу в начале построения.

Параметрические и непараметрические модели. Модель скользящего среднего — авторегрессии (1.2.9) является параметрической моделью. Чтобы подобрать такую модель, нужно оценить по наблюдаемым данным небольшой набор параметров. С другой стороны, описание временного ряда, даваемое автокорреляционной функцией или спектром, является непараметрическим (или многопараметрическим, так как для того, чтобы задать весь процесс, требуется действительно бесконечное число параметров).

Рис. 1.5. Схематическое изображение линейной системы.

Оценка динамической модели линейной системы, показанной на рис. 1.5, представляет собой задачу, к которой можно применить оба эти метода. В простейшем случае, когда имеется один вход и один выход динамическую модель можно оценить по записям входного и выходного сигналов. Например, может быть известно, что некоторая простая параметрическая модель, такая, как

является подходящей. Эта модель содержит один параметр Т, называемый постоянной времени этой системы. В других случаях более подходящим является описание системы с помощью некоторой непараметрической модели, требующей задания функции усиления и фазовой характеристики этой системы. Они являются функциями, описывающими отклик системы на косинусоидальные волны с различными частотами Так, входная косинусоидальная волна появляется на выходе как косинусоидальная волна ее амплитуда изменилась от а до а фаза сдвинулась на . В гл. 10 будет показано, что анализ взаимных спектров можно использовать для оценки коэффициента усиления и сдвига фазы линейной системы.

В некоторых ситуациях амплитудно-фазовое описание предпочтительнее, так как модель может быть нужна лишь в ограниченной полосе частот. В других может оказаться лучше полное описание, даваемое параметрической моделью.

Поскольку спектральный анализ является непараметрическим методом, его применение в области построения моделей ограничено. Однако он полезен иногда, как это было в упомянутом выше примере с турбулентностью, для выдвижения пробных моделей, которые можно затем подобрать параметрически.