2.2.2. Обобщенные функции

Рассмотрим два специальных случая прямоугольного импульса, приведенного во второй строке табл. 2.4.

Единичная высота. Если то

Если стремится к бесконечности, то стремится к константе, равной 1 всюду. Поведение при увеличении проиллюстрировано на рис. 2.4, где можно видеть, что стремится стать острым пиком бесконечной высоты при и ограничена во всех остальных точках. Такая функция понимается как дельта-функция Дирака, или импульсная функция. Поэтому преобразование Фурье от константы есть дельта-функция.

Единичная площадь. Если то

Когда всюду стремится к единице. Однако по мере того как убывает, становится все более высокой, как показано на рис. 2.5. Отсюда следует, что стремится к дельта-функции, сосредоточенной в начале координат.

Эти два случая показывают, что преобразование Фурье от константы есть дельта-функция и, наоборот, преобразование Фурье от дельта-функции есть константа. Эту взаимность следовало ожидать из-за симметрии равенств преобразования (2.1.22) и (2.1.24).

Дельта-функции. Последовательность функций (2.2.1) при которая послужила нам для определения дельта-функции, не является единственной. Вообще дельта-функцию можно определить как последовательность функций таких, что

и в пределе, когда

Примеры таких последовательностей функций вместе с их преобразованиями Фурье приведены в табл. 2.5. Заметим, что стремится к константе (единице) для всех когда

Одну из физических интерпретаций дельта-функции дает описание процессов преобразования энергии в некоторой системе. Используя пример из механики, предположим, что твердый брусок находится в покое на плоской поверхности. Если выстрелить в этот брусок очень маленькой пулей, летящей с большой скоростью, то при ударе пули произойдет обмен энергии. Предполагая, что столкновение происходит столь быстро, что брусок не успевает сдвинуться за это время, можно считать, что пуля передала бруску импульс энергии в виде изменения количества движения. Другую интерпретацию, взятую из теории электромагнетизма, дает единичный точечный заряд в начале координат.

Дельта-функцию можно использовать как операторный прием для выбирания значения сигнала в данный момент времени. Следующая выкладка поясняет это:

(кликните для просмотра скана)

Таблица 2.5. (см. скан) Последовательности, определяющие дельта-функции

Рассматривая аналогичным способом предел последовательности производных можно определить производную дельта-функции, а именно Ее можно использовать для выбирания производной некоторой функции в данной точке. Это приводит к обобщению (2.2.5), а именно

Возвращаясь к интерпретации дельта-функции как единичного заряда в начале координат, можно сказать, что соответствует математической идеализации единичного диполя. Это обусловлено тем, что первый момент равен

где мы воспользовались (2.2.6). Поэтому абсолютный момент равен единице, что является стандартным определением единичного диполя.

Функция единичного скачка. С тесно связана функция единичного скачка. Физически она соответствует приложению единичной силы, которая затем остается постоянной, или переключению крана, которое меняет поток в трубе. Математически она является сигналом, задаваемым равенствами

Функцию можно рассматривать как предел последовательности функций при например

Когда то для отрицательных t и к единице для положительных Дифференцирование дает

что иллюстрирует важный результат: производная функции скачка есть дельта-функция.

Преобразованием Фурье функции единичного скачка (2.2.7) является