2.1.3. Ряды Фурье

Предположим, что нам нужно получить представление Фурье для непрерывного сигнала на интервале от до Заметим, что если в выкладках предыдущего раздела интервал отсчета устремить к нулю, то выбранные точки сигнала будут все полнее прослеживать непрерывный сигнал Непрерывный сигнал на который накладываются условия, чтобы он проходил через выбранные точки сигнала должен при этом совпадать с и поэтому в этом предельном случае представление Фурье будет точным представлением сигнала на интервале от до

Коэффициенты Фурье определяемые в (2.1.15), можно переписать в виде

и если так что то и сумма (2.1.17) стремится к интегралу

Аналогично (2.1.14) стремится к

Теорема Парсеваля (2.1.16) теперь переходит в

поскольку (2.1.16) можно записать в виде

когда . Уравнение (2.1.20) утверждает, что средний квадрат непрерывного периодического сигнала можно разложить на бесконечное число вкладов от гармоник основной частоты гц. Уравнение (2.1.19) называется представлением функции в виде ряда Фурье на интервале Заметим, что хотя приведенные выше рассуждения являются эвристическими, они могут быть строго обоснованы.