3.2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

3.2.1. Моменты одномерных случайных величин

Если дано распределение веррятностей дискретной случайной величины или плотность вероятности непрерывной случайной величины, можно вычислить вероятность того, что случайная величина находится между двумя значениями Иногда невозможно найти распределение вероятностей или плотность вероятности точно, и в таких случаях возникает необходимость охарактеризовать распределение с помощью нескольких чисел. Самыми простыми из них являются среднее значение и дисперсия.

Среднее значение. Иногда полезно знать, какое значение случайная величина X принимает в среднем. В примере с контролем качества из разд. 3.1.1 это значение представляет собой среднее число дефектных изделий в выборке, которое можно было бы ожидать. Среднее число дефектных изделий, которое действительно наблюдалось в выборках, равно

и называется выборочным средним частотного распределения. Для данных, приведенных на рис. и эта величина показана в виде жирной горизонтальной линии, вокруг которой группируются значения х.

Так как отношения являются оценками для вероятностей среднее значение распределения вероятностей равно

Величина обозначается обычно и называется математическим ожиданием случайной величины X. Оно дает среднее, или ожидаемое, значение, которое будет принимать X в будущих экспериментах. Аналогично для непрерывной случайной величины

Равенство (3.2.3) совпадает с выражением для центра тяжести неоднородного стержня с приходящейся на единицу длины удельной массой расположенной на расстоянии х от его конца. Аналогичным образом является центром тяжести плотности вероятности случайной величины X, и, следовательно, оно служит для характеристики расположения распределения.

Дисперсия. Найдя расположение распределения, естественно перейти к описанию следующего наглядного свойства — степени разброса распределения. Одной из мер этого разброса является дисперсия

которая характеризует рассеяние вокруг его среднего значения Если все более и более концентрируется около то будет уменьшаться. Обратно, если имеются значения х, удаленные от среднего, для которых не слишком мало, то будет большой. Возведение в квадрат и раскрытие скобок в (3.2.4) дает другую эквивалентную формулу для дисперсии

Выражение (3.2.4) аналогично формуле для момента инерции стержня с неравномерной плотностью относительно его центра тяжести. При этом формула (3.2.5) просто утверждает, что момент инерции относительно центра тяжести равен моменту инерции относительно начала координат минус момент полной массы стержня, сконцентрированной в центре тяжести, относительно начала координат. Табл. 3.3 дает среднее значение и дисперсию для некоторых важных дискретных и непрерывных распределений.

Дисперсию дискретного распределения вероятностей можно оценить с помощью выборочной дисперсии

Аналогично среднее значение и дисперсию данных соответствующих непрерывной случайной величине, можно оценить по формулам

Таблица 3.3. (см. скан) Некоторые важные функции распределения и их средние значения и дисперсии

Положительный квадратный корень о из дисперсии называется стандартным отклонением. Его можно использовать для нормировки распределения, как мы сейчас покажем.

Нормированное нормальное распределение. Нормальная плотность вероятности (3.1.9) обладает тем важным свойством, что она полностью задается параметрами соответствующими среднему значению и дисперсии случайной величины. Следовательно, среднее значение и стандартное отклонение о можно использовать для нормировки плотности вероятности. Так, если X распределена по закону то случайная величина

имеет плотность вероятности

Следовательно, У распределена как Плотность вероятности (3.2.8) называется нормированной нормальной плотностью вероятности.

Из (3.2.7) получаем, что случайная величина X лежит внутри интервала когда случайная величина У лежит внутри интервала Вероятность последнего события можно найти в стандартных таблицах [1, 6]. Некоторые полезные значения приведены в табл. 3.4.

Старшие моменты. В общем случае одномерную плотность-вероятности можно описать с помощью ее среднего и старших центральных моментов

так что дисперсия при этом соответствует Значения для не имеют большой практической важности, поскольку, если некоторая плотность вероятности неадекватно описывается своим средним значением и дисперсией, то ее лучше представить с помощью соответствующей негауссовской плотности вероятности и затем оценить параметры этой плотности.

Моменты функций от случайных величин. Иногда нужно исследовать некоторую функцию от случайной величины например . В этом случае моменты можно выразить через плотность вероятности X с помощью соотношений

и так далее.