Глава 6. СПЕКТР

В гл. 5 было показано, что стационарный случайный процесс просто описывается с помощью ковариационной функции. Точно такое же описание дается его спектром мощности, который является преобразованием Фурье ковариационной функции. Спектр мощности показывает, как дисперсия случайного процесса распределена по частоте.

В разд. 6.1 говорится о том, что классический анализ Фурье не применим к временным рядам. Так, оценка спектра, полученная по формулам анализа Фурье, а именно выборочный спектр, обладает тем нежелательным свойством, что ее дисперсия не уменьшается при увеличении длины временного ряда. Поэтому для временных рядов методы гл. 2 нужно видоизменить. В результате мы приходим в разд. 6.2 к такому определению спектра, которое подходит для случайных процессов. В этом разделе рассматриваются также спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего.

В разд. 6.3 показано, что с помощью сглаживания выборочного спектра можно получить улучшенную оценку спектра. Чем сильнее сглаживание, тем меньше дисперсия этой оценки, однако при этом возрастает смещение, или систематическое искажение. Поэтому нужно выбирать некоторый компромисс между смещением и дисперсией.

В разд. 6.4 выводятся дальнейшие свойства сглаженных оценок, в том числе свойства, связанные с понятием ширины полосы частот. Показано также, что доверительные интервалы для каждой частоты легко получить, используя логарифм выборочной оценки спектра.

6.1. ВЫБОРОЧНЫЙ СПЕКТР

6.1.1. Применение методов Фурье к временным рядам

Анализ Фурье. В гл. 2 было показано, что дисперсию, или среднюю мощность, сигнала на отрезке можно разложить на вклады от гармоник основной частоты согласно формуле

называется комплексной амплитудой гармоники Она дает амплитуды синусоидального и косинусоидального членов сигнала на частоте Комплексную амплитуду можно вычислить по формуле

подставляя в нее

Напомним, что разложение в ряд Фурье имеет вид

Аналогично для дискретного сигнала, наблюдаемого в моменты времени среднюю мощность можно разложить на вклады конечного числа гармоник основной частоты а равенства, соответствующие (6.1.1) и (6.1.2), имеют вид

Вклад в среднюю мощность на частоте называется интенсивностью сигнала на этой частоте, а график величин в зависимости от называется линейчатым спектром Фурье. Пример такого спектра приведен на рис. 2.2.

Спектр мощности детерминированных сигналов. Главное различие в анализе детерминированных и случайных сигналов выявляется как раз тогда, когда длина записи неограниченно возрастает. Во многих технических учебниках это различие не объясняется, а используются рассуждения следующего характера. Из (6.1.1) дисперсия бесконечной записи равна

где функция

называется «спектром мощности» Фурье. Воспользовавшись формулой (6.1.2), функцию можно записать в виде

Отметим, что функция определена на непрерывном интервале частот Она называется выборочным спектром, или выборочной спектральной плотностью. Для дискретного случая выборочный спектр равен

Частота в (6.1.7) называется найквистовой. Мы обсуждали ее в гл. 2; это — наивысшая из частот, которую можно обнаружить по данным, отсчитываемым через секунд.

Заметим, что если преобразование Фурье сигнала является регулярной функцией, то предел (6.1.5) для равен нулю. Это происходит потому, что если преобразование Фурье функции существует, то сама она должна стремиться к нулю при Однако если не затухает на бесконечности, то функция будет обычно стремиться к вполне определенному пределу Для детерминированных сигналов сходится к плавно в том смысле, что функция полученная при увеличении длины записи , является сглаженным вариантом функции вычисленной по записи длины Т.

В следующем разделе будет показано, что определение (6.1.5) не подходит для случая, когда является реализацией случайного процесса. Основное различие в анализе Фурье детерминированных и случайных сигналов состоит в том, что во втором случае при увеличении длины записи от Т до функция не становится более устойчивой, т. е. не сходится в каком-либо статистическом смысле к предельному значению при