2.3.5. Линейные уравнения в конечных разностях

В предыдущих разделах было показано, что систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением, можно также описать с помощью функции отклика на единичный импульс или же частотной характеристики причем образуют пару преобразований Фурье. Функции легко получить из дифференциального уравнения, описывающего систему. В этом разделе показано, как можно использовать отклик на единичный импульс и частотную характеристику для описания системы, заданной с помощью линейного разностного уравнения.

Линейное разностное уравнение — это уравнение вида

Его общее решение имеет вид

Величины могли бы быть значениями непрерывных сигналов в моменты времени соответственно, т. е.

Преобразование Фурье от (2.3.31) можно записать в виде

так что частотная характеристика системы равна, согласно

Частотная характеристика и дискретная функция отклика на единичный импульс связаны соотношениями

и

z-преобразования. С частотной характеристикой (2.3.32) лучше всего обращаться, если сделать замену вида что приводит к выражению

Это выражение называется -преобразованием [7] функции отклика на единичный импульс

С операционной точки зрения переменную в (2.3.35) можно рассматривать как оператор сдвига, обладающий свойством

Следовательно, разностное уравнение (2.3.39) можно записать в виде

т. е.

где является передаточной функцией дискретной системы. Разложение по степеням дает

что является общим решением (2.3.30).

Устойчивость. Вынося множитель за скобки в знаменателе (2.3.35), заменяя на и приравнивая этот знаменатель нулю,

получаем характеристическое уравнение дискретной системы

Условие устойчивости, соответствующее (2.3.11), будет иметь вид

Аналогично условие устойчивости, соответствующее (2.3.20), состоит в том, что корни характеристического уравнения (2.3.38) должны лежать внутри единичного круга.

Пример. Рассмотрим разностное уравнение второго порядка:

Оно имеет -преобразование

и, следовательно, передаточную функцию

Характеристическое уравнение имеет вид

а его корни равны

Функция отклика на единичный импульс для этой системы имеет вид

для действительных корней, т. е. когда Когда корни комплексные, т. е. при

где

Система устойчива при условии т. е. при условии, что лежат внутри треугольной области: