3.2.5. Моменты нелинейных функций случайных величин

Во многих практических статистических задачах необходимо рассматривать нелинейные функции от случайных величин. Например, большинство задач спектрального анализа являются нелинейными. За исключением некоторых специальных случаев, невозможно вывести точные плотности вероятности этих нелинейных функций, и, следовательно, нужно описывать эти плотности вероятности с помощью их моментов. В этом разделе показывается, как вывести приближенные выражения для среднего значения и дисперсии нелинейной функции от случайных величин.

Среднее значение нелинейной функции. Рассмотрим функцию от случайных величин которые имеют средние и ковариации Рассмотрим далее разложение Тейлора функции в точке

Тогда с точностью до членов первого порядка

где обозначает частную производную по в точке Взяв математическое ожидание от обеих частей (3.2.22), получаем

Если то второй член исчезает, так что

Дисперсия нелинейной функции. Из (3.2.22) имеем

Последнее выражение линейно поэтому, используя (3.2.17), получаем

Частные случаи формулы (3.2.25). Если то

Например, если то

Если

Например, если — некоррелированные случайные величины и

то (3.2.27) сводится к

Преобразования, делающие дисперсию постоянной. В статистических задачах часто получается так, что дисперсия случайной величины является некоторой функцией от ее среднего значения например . В этом случае логичней рассматривать случайную величину так как , следовательно, масштаб измерения не зависит от ее среднего значения. Более общий подход состоит в том, что рассматривают такую функцию от случайной величины, что мало зависит от среднего значения X и, следовательно, от среднего значения

Используя (3.2.26), получаем, что если потребовать, чтобы была константой то

где Поэтому с точностью до аддитивной константы

а случайная величина имеет дисперсию, которая мало зависит от среднего. В уноминавшемся выше примере так что Таким образом, случайная величина имеет дисперсию, мало зависящую от среднего значения, и поэтому она дает более логичный масштаб измерения, чем сама X. Преобразования, делающие дисперсию постоянной, направлены на то, чтобы получить плотность вероятности для преобразованной случайной величины, более похожую на нормальную плотность, чем плотность величины X. Следовательно, плотность вероятности преобразованной случайной величины будет полнее охарактеризована с помощью ее среднего значения и дисперсии, чем плотность самой X.