6.3.4. Сглаживание спектральных оценок

Способ сглаживания Бартлетта. Один прием, который можно использовать для получения спектральных оценок, имеющих дисперсию, меньшую, чем был предложен Бартлеттом [5]. Предположим, что вместо вычисления по реализации белого шума длины как это делалось в разд. 6.1.2, эта реализация разбивается на рядов длины и выборочный спектр вычисляется для каждого ряда длины 50.

Среднее значение этих восьми выборочных спектров на частоте равно

Оно называется выборочной сглаженной спектральной оценкой на частоте

На рис. 6.10 построены графики и функции вычисленной по всем 400 членам, для частот гц. Отметим, что меняется более плавно и проходит ближе к . В табл. 6.4 показаны средние значения, дисперсии и среднеквадратичные ошибки при усреднении по частоте. Согласно (6.3.10), дисперсия каждой равна Так как — белый шум, то отдельные ряды разбиения независимы и, следовательно, дисперсия равна Отношение двух наблюденных дисперсий из табл. незначимо отличается от ожидаемого значения 1/8. Следовательно, с помощью усреднения,

Таблица 6.4. Моменты несглаженной и сглаженной выборочных спектральных оценок (усреднение проводилось по частоте)

или сглаживания, величин, относящихся к отдельным частям разбиения исходного ряда, дисперсию спектральной оценки можно уменьшить в нужное число раз. В предельном случае можно было бы использовать разбиение исходного ряда на отдельные ряды из двух членов, и при этом дисперсия уменьшилась бы до

Чтобы понять, почему не имеет смысла так поступать, необходимо внимательно рассмотреть процедуру сглаживания и вывести моменты сглаженных оценок.

Рис. 6.10. Выборочный спектр и сглаженная выборочная оценка спектра для нормального белого шума.

Корреляционные и спектральные окна. Из (6.2.1) математическое ожидание оценки, соответствующей выборочному спектру, равно

Оно представляет собой преобразование Фурье от произведения функции и функции

Отсюда, используя теорему о свертке (2.4.3), получаем

поскольку преобразование Фурье функции равно

Равенство (6.3.21) показывает, что математическое ожидание оценки соответствует как бы просматриванию теоретического спектра через спектральное окно . В терминологии гл. соответствует пропусканию теоретического спектра через фильтр с «откликом на единичный импульс» Названия спектральное окно для и корреляционное окно для были введены Блэкманом и Тьюки [6].

Поскольку в (6.3.22) при больших Т ведет себя подобно -функции, из (6.3.21) и (2.2.5) следует, что

— асимптотически несмещенная оценка Однако для записи конечной длины из (6.3.21) видно, что является смещенной оценкой со смещением

Для белого шума и равенство (6.3.21) сводится к

для всех Т. Следовательно, для белого шума оценка, соответствующая выборочному спектру, является несмещенной для всех Т.

Спектральное окно грубо говоря, действует при сглаживании как узкая щель, порядок ширины которой равен так что для больших Т естественно считать приблизительно константой внутри этой щели. Поэтому (6.3.21) сводится к

Таким образом, для достаточно больших Т смещение неслаженного выборочного спектра будет малым.

Спектральное окно Бартлетта. Рассмотрим теперь математическое ожидание случайной оценки используемой в способе сглаживания Бартлетта. При разбиении исходного ряда на рядов, каждый из которых имеет длину М, из (6.1.9) получаем

Отсюда сглаженная спектральная оценка равна

где

а для эта функция определяется аналогично (5.3.9). Математическое ожидание в таком случае равно

и

Следовательно, разделение записи длины Г на 6 частей длины каждая и построение сглаженной спектральной оценки (6.3.23) эквивалентно сглаживанию выборочного спектра с помощью окна

Во временной области это эквивалентно умножению ковариационной функции на корреляционное окно

Окна (6.3.26) и (6.3.27) называются спектральным и корреляционным окнами Бартлетта. График спектрального окна Бартлетта

изображен на рис. 6.11. Видно, что он симметричен относительно начала координат и имеет нули в точках Таким образом, ширина окна (т. е. расстояние между первыми нулями с каждой стороны) равна Следовательно, выбирая длину М отрезка разбиения, можно регулировать ширину спектрального окна. Мы уже показали, что, выбирая М небольшим, можно сделать малой дисперсию спектральной оценки. А малые значения М, как мы видим, соответствуют большим значениям ширины спектрального окна.

Рис. 6.11. Спектральное окно Бартлетта

Однако, если ширина окна велика, то происходит сглаживание на большом диапазоне частот, т. е. «отклик на единичный импульс» очень широк, что может привести к большому смещению Таким образом, как и для всех статистических оценок, нужно выбирать компромисс между дисперсией и смещением. В следующем разделе такое компромиссное решение изучается для более общего способа сглаживания выборочных спектров.