ПРИЛОЖЕНИЕ П5.1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Линейную систему дающую минимальную среднеквадратичную ошибку (5.1.12), можно найти очень просто с помощью вариационного исчисления. Мы будем предполагать, что ковариационные функции известны для всех значений запаздывания и.

Прежде всего отметим, что (5.1.12) можно переписать в виде

так как единственной неизвестной функцией является Общий метод, используемый в вариационном исчислении, состоит в следующем. Предполагают, что ответ известен, и затем находят условия, вытекающие из того, что этот ответ правильный. Таким образом, мы предположим, что конкретная функция является именно той функцией, которая минимизирует т. е.

Далее, для любой функции где -произвольная функция от и, удовлетворяющая граничным условиям на мы будем иметь если не равна тождественно нулю.

Вообще если

то достигает минимума, когда т. е. при Выражая это условие минимума через производные, получаем

Подставляя в нашем частном случае в (П5.1.1) вместо выражение (П5.1.3), получаем

и

Приравнивая и используя первое из условий (П5.1.4), получаем

поскольку — четная функция, как показано в разд. 5.2.1. Так как равенство должно выполняться для любой функции то должна удовлетворять условию

Можно проверить, что вторая производная по в точке положительна, так что это решение действительно соответствует минимуму. Таким образом, должна удовлетворять интегральному уравнению (П5.1.8), которое называется интегральным уравнением Винера—Хопфа.

Ограничение, требующее, чтобы соотношение (П5.1.8) было верным лишь при появляется из-за условия физической реализуемости фильтра, а именно при