4.3.2. Доверительные интервалы для одного параметра

Среднее значение и дисперсия оценки наименьших квадратов. Как отмечалось выше, существенно иметь меру точности оцениваемого параметра, например в виде доверительного интервала. Этот доверительный интервал можно использовать в свою очередь для построения доверительного интервала для прогноза, сделанного по подобранной модели.

В упоминавшемся выше примере доверительные интервалы для 0 можно вывести, рассматривая выборочные свойства оценки 0,

соответствующей выборочной оценке наименьших квадратов (4.3.7). Так как являются фиксированными константами, то среднее значение оценки равно

так что эта оценка несмещенная. Аналогично получаем из (3.2.18), что ее дисперсия равна

так как Следовательно, если бы было известно, то (4.3.8) можно было бы использовать для построения доверительных интервалов для 0, поскольку из того, что распределены нормально, следует, что 0 также распределена нормально. Кроме того, если даже не являются нормально распределенными, тем не менее 0 будет иметь распределение, близкое к нормальному в силу центральной предельной теоремы, и, таким образом, этот анализ будет устойчивым по отношению к предположениям, сделанным о распределении

Оценивание остаточной дисперсии. В общем случае нам потребуется оценивать по данным. Чтобы увидеть, как это можно сделать, рассмотрим

где пределы суммирования временно опущены. Раскрытие скобок в (4.3.9) дает

и так как является оценкой наименьших квадратов, средний член исчезает, что дает

Беря математическое ожидание от обеих частей (4.3.10), получаем

и отсюда, используя (4.3.8), получаем

Таким образом, случайная величина

является несмещенной оценкой Поскольку является квадратичной форгдой от нормальных случайных величин и отсюда следует, что эта величина распределена как

Результат (4.3.10) является частным случаем теоремы (3.3.16) о разбиении Таким образом, из-за того, что случайные величины распределены как левая часть (4.3.10) распределена как Кроме того, случайная величина распределена как , следовательно, случайная величина распределена как Можно показать также, что две случайные величины в правой части (4.3.10), имеющие -распределение, независимы. Следовательно, случайную величину в левой части (4.3.10), имеющую -распределение с степенями свободы, можно разбить на две независимые случайные величины, имеющие -распределение с и с одной степенями свободы соответственно.

Доверительные интервалы для «тэтта». Так как не зависит от то отсюда следует, что случайная величина

имеет -распределение с степенями свободы. Отсюда -ный доверительный интервал для 0 имеет вид

где дается равенством (4.3.7), и

является выборочной оценкой дисперсии. Заметим, что

и, следовательно, поскольку 8 известно, для вычисления остаточной суммы квадратов и выборочной оценки дисперсии остается сосчитать лишь

Для данных, приведенных в табл. . Следовательно, так что 95%-ный доверительный интервал для 0 равен

Полезно также проверить индивидуальные разности от подобранного уравнения регрессии, чтобы посмотреть, не является ли какое-нибудь наблюдение аномальным или же разности укладываются в рассматриваемую схему. Для нашего примера индивидуальные

разности показаны в третьем ряду табл. 4.1. Мы видим, что они не содержат очевидных выбросов, которые могли бы вызвать сомнение в правильности модели.

Остаточную сумму квадратов (4.3.12) можно переписать также в виде

где

является выборочным коэффициентом корреляции между (при условии, что линия регрессии проходит через начало координат). Отсюда (4.3.12) можно записать в виде

Результат (4.3.14) показывает, что в этом примере сумма квадратов отклонений у от нуля может быть разбита на составляющую равную сумме квадратов отклонений подобранной прямой линии от нуля, плюс сумму квадратов разностей между подобранными и наблюдаемыми величинами.

Результат (4.3.14) имеет много аналогов в спектральном анализе, как будет показано в последующих главах.

Дисперсия прогноза. Если модель (4.3.5) используется для прогноза будущего значения скорости у, соответствующего данному моменту времени х, то наилучшей выборочной оценкой у будет

где является наилучшей выборочной оценкой ошибки. Соответствующая случайная величина имеет дисперсию

Отсюда -ный доверительный интервал для прогнозируемого значения имеет вид

Интервал (4.3.15) увеличивается с увеличением х, а также выявляет общее правило, заключающееся в том, что точность прогноза зависит от планирования эксперимента, т. е. от выбора