3.3.2. Выборочное распределение дисперсии

Выборочное распределение среднего представляет собой распределение суммы случайных величин. Следующее простейшее выборочное распределение — распределение дисперсии нормальных случайных величин — представляет собой распределение суммы квадратов случайных величин Предположим, например, что имеется независимых измерений из -популяции и требуется найти выборочное распределение случайной величины

Распределение называется -распределением с степенями свободы. Общий вид плотности вероятности -распределения с степенями свободы следующий:

где — гамма-функция от аргумента . Графики зависимости от х для и 10 приведены на рис. 3.9. Для плотность вероятности имеет бесконечную ординату при и стремится к нулю, когда х стремится к бесконечности. Для плотность вероятности является экспонентой, а для плотность вероятности принимает унимодальную форму. Заметим, однако, что для малых распределение очень несимметрично. По мере того как возрастает, плотность вероятности начинает выглядеть все более и более похожей на нормальную, как это и предсказывается центральной предельной теоремой. Первые два момента случайной величины полученные из (3.3.5), равны

В гл. 4 будет показано, что выборочной оценкой дисперсии по выборке из наблюдений является

Рис. 3.9. (см. скан) Плотности вероятности -распределения.

Чтобы описать изменчивость этой функции от одной выборки к другой, вводят соответствующую случайную величину где

Если независимые - случайные величины, то можно показать [2], что распределена как степенями свободы. Термин «степени свободы» используется здесь в том же самом смысле, что и в статистической механике. Так, для любого множества из наблюдений будет только независимое отклонение так как их сумма равна нулю.

Обычно будет предполагаться, что наблюдения распределены как . В этом случае будут распределены как так что случайная величина

будет иметь -распределение с

Так как распределена как то вероятностные границы вида

можно получить из таблиц [1]. Перегруппировав (3.3.9), получаем, что случайная величина удовлетворяет соотношению

Графики верхней и нижней границ приведены на рис. 3.10 для и 0,2 и для Отметим, что верхняя и нижняя границы в (3.3.10) очень чувствительны к справедливости предположения о нормальности [3], в отличие от вероятностных границ среднего значения, которые можно построить, исходя из нормального закона, в силу центральной предельной теоремы.

Кривые рис. 3.10 можно использовать для определения интервала, попадание внутрь которого для случайной величины можно ожидать в случаев. Например, предположим, что должны быть получены 20 наблюдений из -популяции. Тогда , используя (3.3.10) и рис. 3.10, получаем

Поэтому следовало бы ожидать, что в среднем в 19 случаях из 20 отношение будет лежать в интервале от 0,58 до 2,11. Иначе говоря, значения будут лежать с вероятностью 0,95 в интервале или же значение будет лежать в интервале Границы для обычно приводятся в статистических таблицах.

Рис. 3.10. (см. скан) Графики зависимости от для