5.1.5. Анализ систем на основе критерия минимума среднеквадратичной ошибки

В предыдущих разделах обсуждены простые способы описания временных рядов с помощью их младших моментов. Важнейшим из этих моментов является корреляционная функция. Одно из многих применений корреляционной функции состоит в том, что она служит источником исходных идей при построении вероятностной модели механизма, породившего временной ряд. В следующей главе будет показано, что временной ряд можно описать совершенно эквивалентным образом с помощью его спектральной плотности, являющейся преобразованием Фурье от ковариационной функции.

Широкое применение ковариационной функции или спектральной плотности в технических задачах основано на том, что знание любой из этих функций достаточно для синтеза линейных фильтров или линейных систем регулирования с минимальной среднеквадратичной ошибкой для случаев, когда рассматриваемые сигналы искажаются шумом. Теория синтеза систем с минимальной среднеквадратичной ошибкой была впервые разработана Винером [4]. Она сыграла важную роль в развитии современной теории управления и теории связи.

Синтез следящих систем. Одно из первых инженерных применений анализа на основе критерия минимума среднеквадратичной ошибки было сделано при синтезировании следящих систем для зенитных орудий и в радиолокационных следящих системах [5]. Например, от радиолокационной следящей системы требуется, чтобы она следила за самолетом несмотря на возмущения

отраженного радиосигнала, обусловленные вариациями полного коэффициента отражения из-за вращения пропеллера, вибрации моторов и изменений относительного положения самолета, вызванных рысканием и покачиванием во всех направлениях. Понятно, нельзя ожидать от следящей системы, чтобы она сопровождала самолет абсолютно точно при таких неблагоприятных условиях. Следовательно, нужно было бы исследовать характеристику работы системы в среднем и ее вероятный разброс, а не точную характеристику. Один из способов описания этих свойств использует среднеквадратичную ошибку между желаемым и действительным выходными сигналами системы. В свою очередь, среднеквадратичную ошибку можно выразить через ковариационную функцию входного и желаемого выходного сигналов. Поэтому знание ковариационных функций достаточно для синтеза систем с минимальной среднеквадратичной ошибкой.

Оценивание отклика линейной системы на единичный импульс. Другое применение критерий минимума среднеквадратичной ошибки находит в задаче об «идентификации системы». В этом случае в распоряжении имеются входной сигнал и соответствующий ему выходной сигнал от некоторой системы; требуется вывести линейное приближение к этой системе для дальнейшего его использования при управлении или моделировании. Предположим, например, что система представляет собой «черный ящик» (рис. 5.7). Если вход является реализацией случайного процесса то выход можно рассматривать как реализацию случайного процесса где

Равенство (5.1.10) утверждает, что выход можно рассчитать, беря взвешенное среднее от входного сигнала, причем весовая функция должна равняться является шумом, или членом ошибки, содержащим систематическую компоненту (обусловленную несовершенством аппроксимации линейной системы) и случайную компоненту, обусловленную ошибками измерения и недостаточным контролем над переменными, управляющими выходом.

Если ковариационные функции процессов известны точно, то можно воспользоваться винеровским критерием минимума среднеквадратичной ошибки. Этот критерий утверждает, что функция должна быть выбрана так, чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку шумовой компоненты, т. е.

Целесообразность использования критерия (5.1.11) мы обсудим полнее в разд. 5.3.1, где будет рассмотрена задача идентификации системы по записям конечной длины.

Если предположить, что процессы стационарны, то (5.1.11) можно записать в виде

Рис. 5.7. Определение отклика на единичный импульс на основе минимума среднеквадратичной ошибки.

где — дисперсия

есть взаимная ковариационная функция между и

есть автоковариационная функция

Отсюда среднеквадратичная ошибка полностью определяется ковариационными функциями и откликом на единичный импульс

Функцию дающую минимальную среднеквадратичную ошибку, можно получить с помощью вариационного исчисления, как показано в приложении П5.1, откуда следует, что должна удовлетворять интегральному уравнению Винера—Хопфа

Заметим, что должна тождественно равняться нулю при отрицательных чтобы аппроксимирующая система была физически реализуемой.

Основная мысль этого раздела заключается в том, что линейная система, дающая наилучшую аппроксимацию к данному процессу, полностью определяется ковариационными функциями . В этом одна из причин широкого использования этих функций.