Глава 2. АНАЛИЗ ФУРЬЕ

Спектральный анализ объединяет два важных теоретических подхода: статистический анализ временных рядов и методы анализа Фурье. Последние не нуждаются в подробном изложении для инженеров, так как значительная часть инженерной подготовки базируется на этих методах. Однако ради полноты изложения и для удобства других читателей в этой главе будут описаны те понятия анализа Фурье, которые необходимы для анализа временных рядов. В последующих главах будет показано, как должны быть модифицированы методы Фурье для обработки функций времени, которые являются скорее статистическими, чем детерминированными.

2.1. ВВЕДЕНИЕ

2.1.1. Роль анализа Фурье в прикладной математике и в технических науках

Аналитические методы, развитые Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768—1830), сыграли важную роль в развитии прикладной математики. Особенно важны они для трех приложений: а) для изучения периодических решений физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, особенно уравнениями в частных производных, например, для изучения волновых колебаний струн, возбужденных щипком, или для передачи электромагнитных волн по волноводам или кабелям; б) как операционный способ решения дифференциальных уравнений; например, обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами можно перевести с помощью преобразования Фурье в алгебраические уравнения; в) для приближения непериодических функций.

В этой книге мы будем иметь дело в основном с последним случаем и лишь эпизодически с решением дифференциальных уравнений. Периодические решения физических задач рассматриваться не будут. В качестве примера приближения непериодической функции рассмотрим детерминированную функцию времени которую будем называть сигналом и которую нужно аппроксимировать с помощью выбранных подходящим образом периодических функций. Детерминированный сигнал является функцией, которая

известна точно для всех моментов времени, и поэтому представляет математическую идеализацию. Примерами детерминированных сигналов являются

или

Многие сигналы, встречающиеся на практике, полезно рассматривать как детерминированные, например следующие: напряжение в сети как функцию времени; выход генератора прямоугольных волн; перемещение предмета, подверженного внезапному воздействию постоянной силы; ток, протекающий через сопротивление, когда оно внезапно замыкается на заряженный конденсатор. Размерность первых двух сигналов выражается в вольтах, третьего — в метрах и четвертого — в амперах. Однако размерность сигнала могла бы быть и метром в секунду, если бы сигнал был скоростью, и единицей температуры, давления и т. Для того чтобы не возникало противоречий, всегда будет предполагаться, что t измеряется в секундах, а — в вольтах, поскольку в большинстве практических приложений изучаемая физическая величина перед регистрацией переводится в напряжение.

Детерминированная функция, упомянутая в первом случае, является непериодической, в то время как во втором случае функция — периодическая. Слово «периодическая» означает, что сущест-. вует число Т, называемое периодом функции, такое, что

Между моментами времени t и функция может иметь совершенно произвольную форму. Особенно простой формой обладает косинусоидальная функция в упомянутом выше примере, которая имеет период так как

Непериодическую функцию можно представить, используя любой класс периодических функций. В анализе Фурье такими функциями являются синусоидальная и косинусоидальная. Они обладают важным свойством ортогональности, так что коэффициенты можно находить независимо друг от друга.