2.3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И СВЕРТКИ

2.3.1. Линейные дифференциальные уравнения

Важность практического применения анализа Фурье и спектрального анализа определяется тем, что они упрощают анализ инвариантных во времени линейных систем, т. е. систем, поведение которых можно описать с помощью линейных интегродифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Можно показать вообще [3], что решение такого уравнения может быть записано в виде интеграла свертки

где — решение и — вынуждающая функция. В разд. 2.3.4 будет показано, что это решение упрощается, если перейти к преобразованиям Фурье. Преобразование решения дает

где — преобразования Фурье от соответственно. Таким образом, свертка во временной области преобразуется в произведение в частотной области.

Иллюстрация свертки. Чтобы проиллюстрировать интеграл свертки, рассмотрим простую линейную систему, состоящую из пружины и буфера, показанную схематически на рис. 2.6. Одно из назначений такого устройства состоит в том, чтобы двери не хлопали. Сила, приложенная к пружине, производит входное смещение

которое вызывает выходное смещение буферного хомута. Дифференциальное уравнение, полученное приравниванием сил, имеет вид

где К — постоянная пружины, измеряемая в и — постоянная скорости буфера, измеряемая в

Рис. 2.6. Механическая система первого порядка.

Перегруппировав члены этого уравнения, получим

где - постоянная времени этой системы (в секундах).

Уравнение (2.3.2) можно использовать для описания поведения многих других физических систем, например температуры у выпускного отверстия химического реактора, когда температура у впускного отверстия равна . В этом случае уравнение (2.3.2) показывает, что скорость изменения температуры у выпускного отверстия прямо пропорциональна температурному градиенту в реакторе.

Решение уравнения (2.3.2) можно записать в виде интеграла свертки, вводя интегрирующий множитель Таким образом, получим

где

Следовательно, выход можно записать в виде взвешенной суммы прошлых значений входа т. е. выходной сигнал является сверткой входного сигнала с весовой функцией

Вообще можно показать [3], что решение любого линейного инвариантного во времени дифференциального уравнения можно записать так же, как и в (2.3.3), или же, сделав замену переменной, в виде

Весовая функция полностью характеризует поведение системы, точно так же, как это делает дифференциальное уравнение.

Инвариантные во времени линейные системы. Уравнения (2.3.3) и (2.3.4) изображают в общем виде то, что известно под именем инвариантных во времени линейных систем, или фильтров. Они характеризуются следующими свойствами.

а) Свойство линейности: если два входных сигнала, соответствующие им выходные сигналы, то линейная комбинация входных сигналов дает на выходе ту же самую линейную комбинацию выходных сигналов

б) Свойство неизменности во времени: если входной сигнал задержать на время так что получится то выходной сигнал задержится на то же самое время и будет равен

Именно свойство (б) обеспечивает то, что весовая функция не зависит от времени. Линейная система без свойства инвариантности во времени имела бы весовую функцию, зависящую от времени Можно показать, что системы, которые могут быть описаны с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеют инвариантное во времени представление (2.3.3). Впрочем, многие нелинейные системы можно линеаризовать так, что для малых возмущений на входе можно использовать (2.3.3) как приближенное изображение системы.