2.3.4. Отклик на произвольный входной сигнал

Если известно, что отклик системы на входной сигнал равен то можно найти отклик на произвольный входной сигнал. Сначала надо взять преобразование Фурье от этого входного сигнала:

Составляющая Фурье выходного сигнала на частоте равна

где

Уравнение (2.3.23) показывает, что составляющая выходного сигнала на частоте получается из составляющей входного сигнала на той же частоте с помощью умножения на — значение частотной характеристики на этой же частоте. Наконец, чтобы возвратиться к нужно синтезировать, или просуммировать, составляющие от всех частот при одном и том же значении что дает

Равенства (2.3.22) — (2.3.24) показывают, что свертка во временной области эквивалентна перемножению в частотной области. Следовательно, если между двумя переменными существует соотношение в виде дифференциального уравнения (2.3.18), то решение равно (2.3.24), где частотная характеристика дается выражением (2.3.19). Следовательно, преобразование Фурье дает очень полезный операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.

Нахождение решения можно ускорить с помощью таблиц преобразований. Таблица преобразований обобщенных функций приведена в [1, 4]; преобразования Фурье обычных функций имеются в [6, 5].

Несколько линейных систем, соединенных последовательно. Рассмотрим не влияющих друг на друга линейных систем, соединенных последовательно, как показано на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Несколько линейных систем, соединенных последовательно.

Повторное использование (2.3.23) дает

откуда видно, что для последовательно соединенных линейных систем полная частотная характеристика равна произведению частотных характеристик отдельных систем. Используя (2.3.17),

получаем, что полный коэффициент усиления равен произведению отдельных коэффициентов усиления:

а полный сдвиг фазы равен сумме отдельных фазовых сдвигов:

Выходной сигнал этой системы можно теперь вычислить, суммируя вклады от всех частот в виде

Заметим, что при этом интегрирование проводится только один раз, в то время как выкладки во временной области потребовали бы вычисления интегралов свертки.