5.1.3. Стационарность и ковариационная функция

Стационарность. В общем случае свойства случайного процесса будут зависеть от времени. Часто ради упрощения предполагают, что ряд достиг некоторой формы устойчивого состояния, или равновесия, в том смысле, что статистические свойства! ряда не зависят

от абсолютного времени. Например, было бы разумно предположить для данных о партиях продукта, приведенных на рис. 5.2, что если бы контроль за процессом осуществлялся достаточно хорошо, то статистические свойства ряда оставались бы довольно стабильными во времени. Наименьшее требование для того, чтобы это было верно, состоит в том, что плотность вероятности не должна зависеть от времени и, следовательно, стационарный временной ряд имеет постоянное среднее значение и постоянную дисперсию Поэтому одинаковую для всех моментов времени плотность вероятности можно оценить, построив гистограмму данных так, как это описывалось в гл. 3. Например, гистограмма данных табл. 5,1 показана на рис. 5.4.

Из этого рисунка видно, что эмпирическое распределение является унимодальным и не противоречит гипотезе о том, что данные могут быть описаны нормальной случайной величиной. Если данные относятся к значительному промежутку времени, то разумность предположения о стабильности можно проверить, например, с помощью построения отдельных гистограмм для каждой из половин ряда. Если эти две гистограммы находятся в согласии, то пред положение о независящей от времени вероятности, по-видимому, оправдано.

Из предположения о том, что процесс находится в состоянии равновесия, вытекает и другое следствие: совместная плотность вероятности зависит только от разности моментов времени а не от абсолютных значений Предположим, что временной ряд — дискретный и что наблюденными значениями являются Тогда пары точек можно рассматривать как наблюдений, имеющих совместную плотность вероятности , которая в этом случае одинакова для всех моментов времени, отстоящих друг от друга на М.

Рис. 5.5 показывает диаграмму разброса для последовательных партий взятых из данных табл. 5.1. Видно, что точки попадают в основном в левый верхний и правый нижний углы рисунка, что говорит об отрицательной зависимости между соседними партиями, явно заметной также на рис. 5.2.

Из условия равновесия вытекает и еще более общее следствие, а именно свойства многомерной плотности вероятности, соответствующей любому набору моментов времени зависят только от разностей Другими словами, если любой набор моментов времени перенести вперед или назад на величину то плотность вероятности не изменится. Математически это означает, что равенство

(кликните для просмотра скана)

справедливо для любых наборов моментов времени и для всех смещений Случайный процесс, удовлетворяющий условиям (5.1.6), называется строго стационарным

Ковариационная функция. Из предположения стационарности сразу следует, что ковариационная функция зависит только от , следовательно, ее можно записать в виде

Смещение и называется запаздыванием. Ковариационная функция показывает, как изменяется зависимость между соседними значениями случайного процесса в зависимости от запаздывания и. Если имеют многомерную нормальную плотность, то ковариационная функция и среднее значение полностью характеризуют процесс, как отмечалось в разд. 3.1.5.

Корреляционная функция. Для стационарного процесса корреляционная функция

зависит только от запаздывания и. Хотя методы оценивания ковариационных и корреляционных функций будут рассмотрены лишь в разд. 5.3, мы проиллюстрируем сейчас на рис. 5.6 выборочную корреляционную функцию для данных о партиях продукта, изображенных на рис. 5.2. Видно, что корреляции затухают очень быстро и что практически нет корреляции для запаздываний больше 10. Кроме того, корреляции меняют знак. Это говорит о том, что за высоким выходом продукта в одной партии в среднем получается низкий выход в следующей партии, и наоборот.

Слабая стационарность. Более слабое, чем (5.1.6), предположение, которое иногда принимают, состоит в том, что многомерные моменты вида (5.1.5) вплоть до порядка

зависят только от разностей моментов времени Случайный процесс с таким свойством называется стационарным процессом порядка. Например, если то только среднее значение, дисперсия и ковариационная функция (5.1.7) зависят от разностей моментов времени, и процесс является стационарным

второго порядка. Впрочем, если многомерная плотность вероятности в (5.1.6) является нормальной (так что она полностью задается ее средними значениями и ковариациями), то из стационарности второго порядка следует строгая стационарность.

Рис. 5.6. Выборочная корреляционная функция для данных, приведенных на рис.

Чисто случайный процесс. Простейшим примером стационарного процесса является дискретный процесс такой, что случайные величины взаимно независимы и одинаково распределены. В этом случае из (5.1.7) следует, что для всех Такой процесс статистики называют чисто случайным процессом, а инженеры — белым шумом с ограниченной полосой частот.