4.2.5. Критерии значимости

Другой вид выводов, включаемый в рамки метода выборочных распределений, представляет собой критерий значимости. Он дает возможность вынести решение о том, справедлива или нет некоторая гипотеза относительно статистических параметров. Например, иногда нужно проверить, совместима ли некоторая выборка наблюдений с гипотезой о том, что они получены из нормальной плотности вероятности с некоторыми заданными значениями среднего и дисперсии.

Во многих случаях, когда применяют критерии значимости, лучший ответ на задачу можно было бы получить с помощью оценивания параметров и вычисления доверительных интервалов. В этом разделе мы приведем простой пример критерия значимости и затем покажем, как можно было бы получить несколько большую информацию, рассматривая нашу задачу как задачу оценивания.

Понятие критерия значимости восходит к первым работам по теории вероятностей. Систематическая теория критериев значимости была разработана до некоторой степени независимо, с одной стороны, Фишером, а с другой стороны, совместно Нейманом и Пирсоном. Двое последних включили идею критерия значимости в теорию, названную ими теорией проверки гипотез. Описание этой теории дается в [4].

Этапы построения критерия значимости. Проиллюстрируем этапы построения критерия значимости на примере с транзисторами из разд. 4.2.2.

1. Выдвигаем нулевую гипотезу Но, например, что ток коллектора для партии транзисторов распределен нормально со средним значением но с неизвестной дисперсией.

2. Определяем конкурирующие гипотезы. В нашем примере в качестве таких гипотез было бы естественно взять предположение поскольку желательно было бы забраковать партию, если средний ток коллектора был слишком высокий.

3. Решаем вопрос о наилучшей функции от наблюдаемых данных, или статистике, с помощью которой будем проверять гипотезу. Если дисперсия известна, то, как можно показать [4], наилучшей

статистикой является среднее X. Если дисперсия неизвестна, как в нашем примере, то наилучшей статистикой является

4. Выводим выборочное распределение этой статистики при условии, что нулевая гипотеза верна. В нашем примере это будет -распределение Стьюдента с степенями свободы.

5. Пользуясь (4) и (2), можно затем разделить выборочное пространство на две части: критическую область С и область принятия гипотезы — состоящую из всех точек выборочного пространства, не принадлежащих критической области Критическая область выбирается так, что вероятность лежит в , где а мало, скажем 0,05 или 0,01. Вероятность а называется уровнем значимости критерия.

6. Наконец, критерий значимости заключается в том, что нулевая гипотеза отбрасывается, если наблюденная выборка попадает в и не отбрасывается, если выборка попадает в . Поскольку вероятность попадания выборочной точки в при условии, что верна, мала, то любой случай, когда она туда попадает, рассматривается как довод против нулевой гипотезы.

В нашем примере в силу того, что критическая область определяется неравенством

или

Пример. Предположим, что и нужно проверить гипотезу с уровнем значимости Из рис. 3.11 находим , следовательно, критическая область имеет вид

Поскольку настоящее х лежит вне критической области, нулевая гипотеза не отвергается с -ным уровнем значимости.

Предположим, что конкурирующие гипотезы одинаково важны. Например, если вес некоторого фасованного товара должен быть равен заданной величине то могли бы быть одинаково важными случаи недовеса и перевеса в конкретной

выборке. В таком случае разумно выбрать критическую область

т. е.

Для нашего примера при получаем критическую область

Так как наблюденная величина не лежит в критической области, то нулевая гипотеза не была бы отвергнута с -ным уровнем значимости. Такой критерий называется двусторонним критерием значимости в противоположность упоминавшемуся выше одностороннему критерию.

Доверительные интервалы и критерии значимости. Чтобы продемонстрировать соотношение между критерием значимости и доверительным интервалом, заметим, что доверительный интервал (4.2.3) для имеет вид

Поэтому если лежит внутри доверительного интервала, то, согласно (4.2.27), нулевая гипотеза не отвергается, а если лежит вне доверительного интервала, то нулевая гипотеза отвергается. В нашем примере 95%-ный доверительный интервал имеет вид

Так как попадает внутрь этого интервала, то нулевая гипотеза не отвергается с -ным уровнем значимости. На самом деле, никакая нулевая гипотеза из интервала от 6,82 до 13,18 не была бы отвергнута с этим уровнем значимости. Теперь становится очевидной дополнительная информация, содержащаяся в доверительном интервале. Она показывает, что наш эксперимент был настолько неточным, что даже такие большие значения как 13, правдоподобны. В этом случае единственное разумное заключение состоит в том, что требуется больше данных для того, чтобы оценить точнее.