Глава 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Эта глава содержит краткое описание тех понятий теории вероятностей, которые необходимы для понимания задач с временными рядами. Разд. 3.1 иллюстрирует подход, с помощью которого статистик описывает физические явления, пользуясь выборочным пространством, случайной величиной и распределением вероятностей. В разд. 3.2 рассматриваются способы приближения распределения вероятностей с помощью его первых моментов. Наконец, в разд. 3.3 обсуждаются выборочные распределения некоторых полезных функций от случайных величин, таких как среднее значение и дисперсия.

3.1. ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В гл. 1 было показано, что детерминистические модели не всегда могут адекватно описывать физические системы. Поэтому, когда системе свойственна неопределенность или она подвержена случайному изменению, необходимо использовать недетерминистические или случайные модели. Математическая теория, лежащая в основе таких случайных моделей, называется теорией вероятностей.

3.1.1. Дискретные случайные величины и распределения

В качестве примера физического процесса, которому свойственна неопределенность или случайная изменчивость, рассмотрим данные, приведенные на рис. 3.1. Они показывают флуктуации числа дефектных транзисторов в последовательных выборках объема 100, взятых случайным образом с выхода поточной линии. Такой выборочный контроль необходим для поддержания качества продукции, а график числа дефектных изделий х в зависимости от номера выборки называется диаграммой контроля качества.

Диаграммы контроля дают наглядную картину изменения данных и используются для получения заблаговременных предупреждений о том, что произойдут изменения качества. Количественное утверждение об изменчивости можно получить, построив частотное

распределение, как показано в табл. 3.1 и на рис. 3.2. Эти иллюстрации изображают число выборок с х дефектными изделиями — как функцию от х для пятидесяти выборок, приведенных на рис. 3.1.

Рис. 3.1 (см. скан) Число дефектных транзисторов в 50 выборках объема 100.

Таблица 3.1. (см. скан) Частотное распределение числа дефектных транзисторов в выборке (по пятидесяти выборкам объема 100)

Частотное распределение показывает, что в то время, как число дефектных образцов в выборке изменяется от 1 до 16, большинство выборок (90%) имеет от 3 до 11 дефектных изделий.

Итак, полное число проверенных выборок равно

где — наибольшая величина, которую может принять х (она равна 100 в этом примере). Отсюда следует, что

где определяет долю выборок с х дефектными изделиями.

Рис. 3.2. (см. скан) Частотное распределение для данных рис. 3.1.

Например, из рис. 3.2 видно, что 5 из 50, или одна десятая часть выборок, имеют равно 8 дефектных изделий.

Выборочные пространства, события, случайные величины и распределения вероятностей. Данные контроля качества можно описать, введя четыре основных понятия. Первым из них является выборочное пространство, которое представляет собой множество точек, соответствующих всем возможным исходам эксперимента. Например, при проверке 100 транзисторов выборочное пространство состоит из 101 точки которые соответствуют дефектным изделиям.

Некоторая совокупность или подмножество точек выборочного пространства называется событием. Например, выборочные точки соответствуют событию «число дефектных изделий меньше двух». Каждая точка выборочного пространства соответствует простому событию.

Для того чтобы обращаться к различным событиям в выборочном пространстве, необходимо ввести понятие случайной величины. Напрпмер, точки выборочного пространства для данных о транзисторах можно обозначить по-другому, так, что точки будут соответствовать событию «случайная величина принимает значение а точки — событию «случайная величина принимает значение Таким образом, принимает значение когда имеется меньше двух дефектных изделий, и когда имеется два или большее число дефектных изделий. Случайная величина обозначается обычно большой буквой, например X или а численное значение, которое она принимает в конкретной выборке, обозначается маленькой буквой, например х или у.

Заметим, что события в выборочном пространстве можно обозначать многими способами. Например, некоторая случайная величина могла бы быть связана с числом дефектных изделий в выборке. В этом примере случайная величина X принимает значения

В общем случайная величина является функцией, которую можно использовать для обозначения множеств или событий в выборочном пространстве.

Основными понятиями, необходимыми для описания примера с контролем качества, являются вероятность и распределение вероятностей. Вероятность равна отношению числа событий, в которых случайная величина X принимает значение х, к общему числу событий; она записывается Множество чисел является распределением вероятностей. Каждая из вероятностей является неотрицательной величиной, и их сумма равна единице. Оценку можно получить из наблюденных отношений определенных в (3.1.2). При увеличении полного числа проверяемых транзисторов отношения дают все лучшие и лучшие оценки вероятностей

Иногда можно вывести математическую формулу для сделав разумные физические предположения. Например, подходящим распределением вероятностей для описания задачи с транзисторами является биномиальное распределение

где объем выборки и — вероятность того, что транзистор является дефектным.

Параметр можно оценить по наблюденным данным с помощью следующего соотношения:

Используя вместо истинной величины , можно оценить вероятность того, что случайная величина X примет значение х, по формуле

Следовательно, в группе из 50 выборок, каждая из которых имеет объем 100, предсказываемое число выборок с х дефектными изделиями равно

Таблица 3.2. Сравнение наблюденных частот с ожидаемыми частотами, вычисленными по биномиальному распределению, подобранному к данным о транзисторах

В табл. 3.2 наблюденные частоты сравниваются а ожидаемыми частотами в предположении, что модель (3.1.4) верна. Мы видим, что наблюдается хорошее согласие и, следовательно, (3.1.4) является адекватной вероятностной моделью для этой ситуации.

Вопрос о том, какую из вероятностных моделей использовать в конкретной задаче, является важным, и для получения ответа на него нужно использовать все имеющиеся в распоряжении данные

и относящуюся к сути явления информацию. Ответ не может быть продиктован математикой, но должен быть получен в результате тщательного анализа физической ситуации.