6.4.2. «хи-квадрат»-приближение к распределению сглаженных спектральных оценок

В разд. 6.3.5 было показано, что оценка, соответствующая выборочному спектру такова, что величина имеет приблизительно -распределение с двумя степенями свободы. В этом разделе мы покажем, что соответствующий результат

для сглаженной спектральной оценки состоит в том, что величина распределена приближенно как с степенями свободы, где Это означает, что сглаженные спектральные оценки будут иметь гораздо больше степеней свободы, чем оценка, соответствующая выборочному спектру, что приводит к уменьшению их дисперсии.

Оценка есть преобразование Фурье оценки ковариационной функции , причем вне интервала . Если внутри интервала функция представляется некоторой периодической функцией такой, что то функция представляется в виде ряда Фурье

Поскольку корреляционное окно до при , функции совпадают при всех и, так что сглаженная спектральная оценка имеет два эквивалентных представления

и

Но

и, следовательно,

Таким образом, сглаженная спектральная оценка является взвешенной суммой случайных величин на субгармонических частотах Эти случайные величины распределены как двумя степенями свободы. Следовательно, пользуясь результатами разд. 3.3.5, распределение величины можно приблизить с помощью распределения величины где а — константа, и — случайная величина, имеющая -распределение с степенями

свободы. Из (3.3.14) и (3.3.15) можно вычислить константы

Предполагая, что истинный спектр изменяется плавно по сравнению со спектральным окном, получаем из (6.3.36)

и из

Поэтому, подставляя эти выражения и (6.4.16), имеем

Следовательно, случайная величина имеет -распределение с степенями свободы, где задается равенством (6.4.17). Таким образом, число степеней свободы сглаженной спектральной оценки зависит от окна

В столбце 4 табл. 6.6 приведены степени свободы, соответствующие спектральным окнам, указанным в столбце 2. Например, если используется окно Бартлетта с точкой отсечения М на расстоянии одной десятой длины записи (т. е. то число степеней свободы оценки равно Чем больше число степеней свободы, тем надежнее оценка в том смысле, что ее дисперсия меньше. Однако, как указывалось выше, должен выбираться некоторый компромисс между числом степеней свободы и смещением.

Из табл. 6.6 видно, что широкое окно, такое, как окно Парзена дает меньшую дисперсию и, следовательно, большее число степеней свободы, чем более узкое окно, такое, как окно Бартлетта Это находится в согласии со сделанным выше замечанием о том, что чем шире окно, тем меньше дисперсия.