4.4.3. Примеры функций правдоподобия

Оценивание параметра показательного распределения. Рассмотрим обсуждавшуюся в разд. 4.2.4 задачу оценивания среднего срока службы осветительных ламп. Первый шаг в методе правдоподобия заключается в том, что нужно выписать выборочную плотность вероятности для наблюдений. В нашей задаче соответствующей выборочной плотностью вероятности будет

Следующий шаг состоит в подстановке наблюденных значений в (4.4.6), в результате чего получается функция правдоподобия.

Третий шаг заключается в построении графика функции правдоподобия, который показан на рис. 4.2. На четвертом шаге из функции правдоподобия извлекается и кратко суммируется информация. В настоящем разделе мы опишем очень простой способ выполнения этого шага. Более детальные способы описания функций правдоподобия будут приведены в разд. 4.4.5.

В отличие от функции правдоподобия (4.4.1) функция правдоподобия (4.4.6) асимметрична. Рис. 4.2 показывает, что она круто возрастает от до своего максимума при а затем относительно медленно стремится к нулю при .

Рис. 4.5. Функции правдоподобия для биномиального распределения (нормированные).

Значение является наиболее правдоподобным, или вероятным, значением для этих трех наблюдений. Оно называется выборочной оценкой максимального правдоподобия Я параметра Я. Значения оба дают шансы правдоподобия против Я. Таким образом, шансы против того, что Я 50,1 и 1,4, не меньше чем Поэтому область от до называют вероятной областью (credible region) с шансами, не меньшими чем 10: 1, против любого значения не из этой области.

Оценивание биномиального параметра. Рассмотрим обсуждавшуюся в разд. 4.4.2 задачу оценивания биномиального параметра. Используя (4.4.2) или (4.4.4), получаем, что при успехах в испытаниях функция правдоподобия имеет вид

На рис. 4.5 показаны функции правдоподобия для двух случаев причем обе кривые пронормированы так, что их максимум равен единице. Продифференцировав (4.4.8), находим, что выборочная оценка максимального правдоподобия имеет вид

Для случая кривая правдоподобия похожа на кривую, изображенную на рис. 4.2, т. е. она резко возрастает до максимума при и затем медленно убывает для больших чем Вероятная область с шансами простирается от 0,006 до 0,49, причем внутри нее в точке 0,125 находится выборочная оценка максимального правдоподобия.

Для случая кривая правдоподобия вполне симметрична относительно выборочной оценки максимального правдоподобия . Вероятная область с шансами 10: 1 простирается от 0,095 до 0,71.