6.2.5. Спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего

Непрерывный процесс авторегрессии первого порядка. Рассмотрим непрерывный процесс авторегрессии первого порядка

где — белый шум. Эта линейная система имеет отклик на единичный импульс

и частотную характеристику

Отсюда, используя (6.2.16), получаем спектральную плотность процесса

График функции (6.2.19) изображен на рис. 2.3, а. Из него видно, что большая часть мощности, или дисперсии, сосредоточена на низких частотах.

Дискретный процесс авторегрессии первого порядка. Для дискретного времени процесс авторегрессии первого порядка имеет вид

В этом случае

и

Отсюда, используя (6.2.18), нахом спектральную плотность процесса

Спектр (6.2.20) изображен на рис. 6.4 и 6.5 для случаев соответственно, причем в обоих случаях Как отмечалось в разд. 6.2.1, при положительном большая часть мощности спектра сосредоточена на низких частотах, а для отрицательных — на высоких частотах. Заметим из (6.2.20), что при равна при

Непрерывный процесс авторегрессии второго порядка. Рассмотрим непрерывный процесс авторегрессии второго порядка

В этом случае частотная характеристика равна

и, следовательно, спектральная плотность процесса равна

Выражение (6.2.21) может давать как низкочастотные спектры или велико), так и спектры с явно выраженным пиком (если характеристическое уравнение имеет комплексные корни).

Дискретный процесс авторегрессии второго порядка. Дискретный процесс авторегрессии второго порядка (5.2.31), а именно

имеет частотную характеристику

и, следовательно, спектральную плотность

Для некоторых значений параметров выражение (6.2.22) представляет низкочастотный либо высокочастотный спектр, подобно дискретному процессу первого порядка. Но кроме таких спектров можно получить и спектры, имеющие пик, либо, наоборот, корытообразную впадину на некоторой частоте внутри интервала частот. Это происходит в случае, если Частота на которой получается пик либо впадина, определяется из выражения

Например, временной ряд, изображенный на рис. 6.6, получен с помощью процесса авторегрессии второго порядка с параметрами Спектр этого процесса имеет пик в точке .

Четыре типа спектров, которые можно получить с помощью процесса авторегрессии второго порядка, перечислены на рис. 6.7. Интересная особенность, выявленная с помощью этого рисунка, заключается в том, что область (в этой области корреляционная функция является затухающей синусоидой) частично перекрывается с областью где спектр не имеет пиков внутри интервала частот (на рис. 6.7 последняя область заштрихована). Для высокочастотного спектра это не является неожиданным, так как даже процесс авторегрессии первого порядка при имеет осциллирующую корреляционную функцию, хотя его спектр и не имеет внутренних пиков. Однако и для низкочастотного спектра корреляционная функция может осциллировать, и при этом не будет ярко выраженных внутренних пиков. Обычно считают, что осцилляция корреляционной функции сопровождается пиком в спектре, но этот пример показывает, что для этого амплитуда затухающих осцилляций корреляционной функции должна быть достаточно большой.

Общие процессы авторегрессии — скользящего среднего. Общий непрерывный процесс авторегрессии — скользящего среднего (5.2.21) имеет вид

Рис. 6.7. Область устойчивости и классификация спектров для дискретных процессов авторегрессии второго порядка.

Его спектральная плотность равна

Аналогично для дискретного времени процесс смешанного типа (5.2.50), а именно

имеет спектральную плотность

Из выражения (6.2.23) видно, что для того, чтобы была интегрируемой спектральной плотностью, соответствующей случайному процессу с конечной дисперсией нужно, чтобы число

удовлетворяло условию Заметим, что в дискретном случае нет никаких ограничений на I.

Выражения (6.2.23) и (6.2.24) получены с помощью подстановки частотных характеристик (2.3.19) и (2.3.32) в (6.2.15) и (6.2.18) соответственно. В общем случае эти спектры могут иметь несколько пиков или впадин, если соответствующие характеристические уравнения имеют комплексные корни.