5.4.3. Определение порядка процесса авторегрессии

В этом разделе рассматривается задача определения порядка процесса авторегрессии. Простой метод основан на том, что если в подбираемой модели (5.4.1) взято недостаточное число членов, то выборочная оценка дисперсии будет завышена за счет тех членов, которые еще не включены в модель. Лишь когда правильное число членов включено в модель, получается правильная оценка

Это наводит на мысль о том, что если выборочную оценку

остаточной дисперсии построить в зависимости от то кривая будет иметь минимум или станет пологой в точке, соответствующей правильной степени процесса. На рис. 5.17 показан график в зависимости от для данных о партиях продукта, изображенных на рис. 5.2.

Рис. 5.17. (см. скан) Остаточные дисперсии для моделей авторегрессии, подобранных к данным о партиях продукта, изображенным на рис. 5.2.

Видно, что кривая становится пологой около и 3. Значит, для этих данных подошел бы процесс авторегрессии второго или третьего порядка.

Частная корреляционная функция. Один из недостатков метода, основанного на состоит в том, что он не всегда может уверенно указывать, какое требуется значение . Например, достаточно ли уменьшение на рис. 5.17 при переходе от чтобы гарантировать справедливость модели третьего порядка? Более чувствительный критерий получается с помощью определения для каждого значения выборочной оценки

последнего коэффициента в подбираемой модели, а также доверительной области для него, как это делалось в разд. 5.4.1. По причинам, которые будут объяснены в гл. 11, график в зависимости от называется частной корреляционной функцией. Используя результаты разд. 5.4.1, можно выписать следующие приближенные выражения для первых двух значений

Для интерпретации значения мы напомним, что если процесс имеет первый порядок, то теоретические корреляции удовлетворяют уравнению , следовательно, теоретическое значение равно нулю. Если процесс имеет второй порядок, то измеряет избыток корреляции в который можно было бы ожидать сверх корреляции, соответствующей процессу первого порядка.

Другая интерпретация получается, если выразить остаточную сумму квадратов через частные корреляции. Таким образом, для процесса первого порядка из (5.4.7) получаем, что остаточная сумма квадратов равна

Следовательно, множитель показывает, во сколько раз уменьшается сумма квадратов за счет подгонки процесса первого порядка. Аналогично остаточную сумму квадратов (5.4.11) можно записать в виде

Следовательно, дает дополнительный уменьшающий множитель для суммы квадратов, получающийся за счет увеличения порядка модели до второго.

На рис. 5.18 показана частная корреляционная функция для данных о партиях продукта, изображенных на рис. 5.2. Доверительные интервалы с уровнем доверия 95% на рис. 5.18 центрированы около нуля, чтобы выделить те коэффициенты, которые можно считать отличными от нуля. Видно, что лежит вне этой полосы, лежит вблизи границы, а значения при лежат глубоко внутри полосы. Это указывает на то, что для описания этих данных подходящим является процесс первого порядка, а не третьего, как

это следовало из рис. 5.17. Однако, учитывая, что лежит вблизи границы доверительного интервала и что значительно меньше, чем как видно из рис. 5.17, можно заключить, что для правильного соответствия этим данным требуется модель второго порядка

Рис. 5.18. Частные корреляции для данных о партиях продукта, изображенных на рис. 5.2.